Derivada

4.2 Funciones Crecientes y Decrecientes
Definición 4
a. Una función es creciente sobre un intervalo si para cualesquiera dos números y en el intervalo, si entonces .
b. Una función esdecreciente sobre un intervalo si para cualesquiera dos números y en el intervalo, si entonces .





Teorema 2 (Criterio para las funciones crecientes y decrecientes)
Sea una funcióncontinua en el intervalo cerrado , y derivable en el intervalo abierto :
i. Si , para toda en , entonces es creciente en
ii. Si , para toda en , entonces es decreciente en
iii. Si , para toda en, entonces es constante en

Aplicación del Teorema 2
Determinar los intervalos en los que una función es creciente o decreciente.
1. Encontrar los puntos críticos de en , y usarlos paradeterminar intervalos de prueba
2. Determinar el signo de , atraves de un valor de prueba en cada intervalo
3. Aplicar los criterios del Teorema 2




4.3 Criterio de la Primera Derivada

Si esun punto crítico de una función que es continua en un intervalo que contiene a . Si es una función derivable en el intervalo , posiblemente en , entonces:

i. tiene un mínimo relativo en sicambia de signo negativo a positivo
ii. tiene un máximo relativo en si cambia de signo positivo a negativo
iii. no es máximo ni mínimo si es positiva en ambos lados de o negativa en amboslados de .





Además de las características de ser creciente o decreciente de una función, también se puede establecer su concavidad.


Teorema 3
Sea una función dos veces derivable sobre unintervalo abierto :
i. Si , para toda en , entonces es cóncava hacia arriba en
ii. Si , para toda en , entonces es cóncava hacia abajo en



Definición 5

Sea una función contínua en.El punto es un punto de inflexión si es cóncava hacia arriba de un lado de y cóncava hacia abajo del otro lado (o viceversa).
El punto es un punto de inflexión, si verifica que o no...