derivada

INGENIERÍA INDUSTRIAL – REGIONAL SUROESTE
Cálculo I

CLASE 1
Docente:
Ejercicio 1

f  x =

Evaluar la función

x
 x1−1

en la proximidad de x = 0 usar el

resultado para estimarel límite de f(x) cuando x tiende a 0.
Desarrollo
Estimemos los valores que toma f(x) con x en cercanías a 0.
X

-0,1

-0,01

-0,001

-0,0001

0

0,0001

0,001

0,01

0,1

f(x)1,9487

1,9950

1,9995

1,9999

??

2,0001

2,0005

2,0050

2,0488

Gráfica de la función

Discontinuidad en x = 0

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Ejercicio 2 Hallando δ para un ε dado
Dado el límite

lim 2x−5=1
x 3

hallar δ tal que |(2x – 5) – 1| < 0,01, siempre que 0 < |x – 3| < δ
Desarrollo
Sabemos que ε = 0,01, para encontrarδ debemos encontrar una relación entre los dos
valores absolutos |(2x – 5) – 1| y |x – 3| .
Podemos simplificar el primer valor absoluto de la siguiente manera
|(2x – 5) – 1| = |2x – 6|
= |2 (x –3)| sacando factor común
= |2| |x – 3|

propiedades de los valores absolutos

= 2 |x – 3|
Así pues |(2x – 5) – 1| < 0,01 equivale a tener 2 |x – 3| < 0,01
entonces |x – 3| < 0,005
por lotanto elegimos δ = 0,005 para que cumpla la condición 0 < |x – 3| < δ

EJERCICIOS SOBRE TÉCNICAS PARA CÁLCULO DE LÍMITES
Ejercicio 3 – sustitución

2

Hallar

lim 4x 3
x 2

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Cálculo I
Desarrollo

2

lim 4x  lim 3

1.

x 2

=

x 2

2

4 lim x  lim 3
x2

=4

x 2

(2)2 + 3 = 19

lim p x = p2

2.

x2

=4

(2)2 + 3 = 19

Ejercicio 4 – factorización

2

x  x−6
lim 

x−3

Hallar

x −3

No puede hacerse por sustitución directa pues su resultado sería 0/0, que es unaindeterminación en el conjunto de los reales.
Debemos factorizar

=

 x3 x−2
lim 

x−3
x −3

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Cálculo I

=

lim  x−2
x −3...