Derivada

19 de junio

FUNCIONES DERIVABLES. PROPIEDADES.

TASA DE VARIACION MEDIA.

Dada una función se llama INCREMENTO de f a la variación que experimenta f cuando la variable independiente pasa de "a" a "a + h".

Por el mismo motivo h recibe el nombre de incremento de x o variación de x. (También denotado ∆x)
Esta variación o incremento de una función nos da una primera idea de larapidez con que crece o decrece la función en un intervalo, aunque no es lo suficientemente precisa.

Para tener una idea más exacta necesitaríamos conocer cuánto crece la función por cada unidad que crece la variable x. Este dato más preciso es la tasa de variación media. (Físicamente es asociada a la idea de velocidad media de un móvil.)

La TASA DE VARIACIÓN MEDIA (T.V.M.) nosviene dada por el cociente incremental siguiente:

y significa la variación relativa de f con relación a x en el intervalo
Gráficamente:

La tasa de variación media es la pendiente de la recta que pasa por los puntos P y P0.

DERIVADA DE UNA FUNCION EN UN PUNTO.

El límite

si existe y es finito, recibe el nombre de DERIVADA de la función en el punto "a" y representa lavariación de la función f en el punto x = a. Se representa por


secante se transforma en tangente a la gráfica de la función. En consecuencia, la derivada de una función en un punto es igual a la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa x = a.

Geométricamente, si vamos acercando el punto P hacia el punto P0 (h tiende a cero), la rectaNota: Puede verse como la recta secante se acerca a la tangente cuando pasa a la posición

DERIVABILIDAD EN UN INTERVALO.

Una función es derivable en un intervalo abierto si es derivable en cada uno de sus puntos.

FUNCION DERIVADA

El límite

recibe el nombre de FUNCION DERIVADA y representa una función que determina el valor de la derivada en todo punto x del dominio donde estaexiste. Se representa por

CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD.

La derivabilidad es una propiedad de las funciones más restrictiva que la continuidad, ya que existen funciones continuas que no son derivables.

TEOREMA.
Si una función es derivable en un punto (derivada finita), entonces es continua en dicho punto


DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

A partir de la función derivadaprimera se puede definir, si existe, también su derivada que recibe el nombre de derivada segunda y se representa por
Análogamente se definirían la derivada tercera, cuarta, quinta,..., nésima, y se representarían por
Otras formas de representar las derivadas son:

REGLAS DE DERIVACION.

Aplicando la definición de derivada a las cuatro operaciones definidas entre funciones (adición,multiplicación, división, producto por una constante y composición) obtenemos las reglas de derivación de ellas. Aplicando la misma definición a algunas funciones elementales obtenemos también fórmulas de derivación para ellas.

Estos resultados, de todos conocidos, los reunimos en la siguiente tabla:

Reglas de Derivación de operaciones elementales:

OPERACIONES | REGLA |
Suma ydiferencia | |
Producto | |
Cociente | |
Producto por una constante | |
Composición | |


Derivadas de Funciones Elementales:

T I P O S | F O R M A S |
| S I M P L E S | COMPUESTAS |
Constante: | | |
F. Identidad:| | |
Potencial | | |
Potencial | | |
Logarítmico | | |
| | |
Exponencial | | |
| | |
Potencial-exponencial | |
Raíz Cuadrada | | |
Seno | | |
Coseno | | |
Tangente | | |
| | |
| | |
Cotangente | | |
| | |
| | |
Arco seno | | |
Arco coseno | | |
Arco tangente | | |
Arco cotangente | | |

ALGUNOS EJEMPLOS...