Derivada

Derivada

Consideremos la tangente a la curva f(x) en el punto P(a,f(a)).
¿Cómo se obtiene el ángulo α entre la tangente y el eje x positivo?
El conocimiento de losvalores a y f(a) no basta para determinarlo, puesto que hay un número infinito de rectas, aparte de la tangente, que pasan por P.
Tampoco es necesario conocer la funciónf(x) en su comportamiento global; el conocimiento de la función en una vecindad arbitraria del punto P debe ser suficiente para determinar α. Esto indica que se deberíadefinir la dirección de la tangente a una curva f(x) mediante un proceso de límite.

Consideremos un segundo punto P'(x,f(x)) sobre la curva, cercano a P.
Por los dospuntos P y P' se traza una línea recta.
Si el punto P' se mueve a lo largo de la curva hacia el punto P, entonces la recta PP' se aproxima a la tangente.


Sea α' elángulo que la recta PP' forma con el eje x positivo.

Entonces limP'->P α' = α

Considerando las coordenadas de los puntos P y P', se tiene:

f(x) - f(a)cateto opuesto
tan α' = ----------- ( ---------------- )
x - a cateto adyacente

Así, nuestro proceso de límite estárepresentado por la ecuación:

f(x) - f(a)
tan α = lim tan α' = lim -----------
x->a x->a x - a

A este límite se lo denominaderivada de la función f(x) en el punto a y se denota f'(a)

Definición
Derivada en el punto a
Se llama derivada de f(x) en x=a, y se denota f'(a) a:f(x) - f(a)
f'(a) = lim -----------
x->a x - a

Función derivada
La derivada es una función de x, puesto que un valor de f'(x) corresponde a cada valor de x.