Derivada

Un concepto importante en las matemáticas es el de variable. Decimos que algo es variable cuando su valor cambia a través del tiempo. La edad de una persona y el número de habitantes de la ciudad de Lima son dos ejemplos de variables. Sus valores no siempre son los mismos, ellos varían continuamente. Al analizar una determinada variable en un intervalo de tiempo, siempre es posible reconocer elvalor inicial y el valor final que ella toma en dicho intervalo. La variación de la variable está dada por la diferencia del valor final y el valor inicial.
la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de larapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se toma cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.
Un ejemplo habitual aparece al estudiar el movimiento: si una función representa la posición de un objeto con respecto al tiempo, su derivada es la velocidad dedicho objeto. Un avión que realice un vuelo transatlántico de 4500 km en entre las 12:00 y las 18:00, viaja a una velocidad media de 750 km/h. Sin embargo, puede estar viajando a velocidades mayores o menores en distintos tramos de la ruta. En particular, si entre las 15:00 y las 15:30 recorre 400 km, su velocidad media en ese tramo es de 800 km/h. Para conocer su velocidad instantánea a las15:20, por ejemplo, es necesario calcular la velocidad media en intervalos de tiempo cada vez menores alrededor de esta hora: entre las 15:15 y las 15:25, entre las 15:19 y las 15:21, etc.
El valor de la derivada de una función en un punto puede interpretase geométricamente, ya que se corresponde con pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. La recta tangente es a suvez la gráfica de la mejor aproximación lineal de la función alrededor de dicho punto. La noción de derivada puede generalizarse para el caso de funciones de más de una variable con la derivada parcial y el diferencial.
La derivada de una función f en un punto x se denota como f′(x). La función cuyo valor en cada punto x es esta derivada es la llamada función derivada de f, denotada por f′. Elproceso de encontrar la derivada de una función se denomina diferenciación, y es una de las herramientas principales en el área de las matemáticas conocida como cálculo.
Conceptos basicos
• La derivada de una función en un punto: definición Decimos que una función f (x) es derivable en un punto a si existe el siguiente límite:
De hecho esto equivale a que exista este otro limite:
basta consubstituir h= x-a . El valor de estos límites, que son equivalentes, recibe el nombre de la derivada de la función f(x) en el punto a y se representa f’(a) ó f’(x) /x= a

La derivada de una función en un punto es un número real que mide cómo está creciendo la función en relación con la variable, en dicho punto de la variable. Es importante destacar que si una función presenta unadiscontinuidad en un punto, no existe la derivada de la función en aquel punto. Dicho de otra manera, si una función es derivable en un punto, tiene que ser continua en este punto.
• Interpretación geométrica de la derivada: crecimiento y decrecimiento
La derivada de una función f en un punto a se puede representar como la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (a,f(a)). Por lotanto,
1. Allí donde la gráfica de f es ascendente al recorrerla de izquierda a derecha, la función es creciente, la recta tangente tiene pendiente positiva y la derivada es positiva.
2. Donde la gráfica es descendente, la función es decreciente, la recta tangente tiene pendiente negativa y la derivada es negativa.
3. En los puntos en que la función ni sube, ni baja (que son, entre...