Derivada

INSTITUTO PROVINCIAL DE ADULTOS

Departamento de Matemáticas

EJERCICIOS RESUELTOS DE DERIVADAS
Ejercicio nº 1.- Calcula los valores de a y b para que f (x) sea continua y derivable en R:
2 x2 + ax si f (x ) =  2 bx + 2 x − 1 si  x ≤1 x >1

Solución: • Continuidad: - Si x ≠ 1: f (x) es continua, pues está formada por funciones continuas. - En x = 1:
    2 lím f (x ) = lím bx + 2x − 1 = b + 1 + + x →1 x →1   f (1) = 2 + a  
x →1− x →1

lím f (x ) = lím− 2 x 2 + ax = 2 + a

(

)

(

)

Para que sea continua, ha de ser 2 + a = b + 1, es decir: a = b – 1 •Derivabilidad: - Si x ≠ 1: f (x) es derivable, y su derivada es:
4 x + a f ' (x ) =  2bx + 2 si si x 1

- En x = 1: Para que sea derivable, debe ser:
f ' 1− = 4 + a    4 + a = 2b + 2 → a = 2b −2 + f ' 1 = 2b + 2 

( ) ( )

• Uniendo las dos condiciones anteriores, tenemos que:
a = b −1   b − 1 = 2b − 2 → b = 1 → a = 0 a = 2b − 2

1

Ejercicio nº 2.- Halla la derivada de lasfunciones:
a) y = x − x e x

(

)

b) y =

x2 −1 3x 3 + 2

Solución:
 1 a) y ' = 1 −   2 x
b) y ' =

 x   1  e + x − x e x = 1 − + x − x  ex      2 x 

(

)

2 x (3x 3 + 2 ) − ( x 2 − 1) · 9 x 2 6 x 4 + 4 x − 9 x 4 + 9 x 2 − 3 x 4 + 9 x 2 + 4 x = = (3 x 3 + 2 ) 2 (3 x 3 + 2) 2 (3 x 3 + 2 ) 2

Ejercicio nº 3.- Halla la derivada de estas funciones:
a) y = 3 x2 − 4

(

)

5

 2x  b) y = ln    3x + 1

Solución:
a) y ' = 5 3 x 2 − 4 6 x = 30 x 3 x 2 − 4
b) y ' =

(

)

4

(

)

4

1 2 (3 x + 1) − 2 x · 3 (3 x + 1) 6 x + 2 − 6x (3 x + 1) · 2 · = · = = 2x 2x (3 x + 1) 2 (3 x + 1) 2 2 x (3 x + 1) 2 3x + 1
1 1 = x (3 x + 1) 3 x 2 + x

=

Ejercicio nº 4.- Escribe las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva f (x) =4x3 – 2x + 1 que son paralelas a la recta y = 10x + 2. Solución: • Si son paralelas a la recta y = 10x + 2, tienen la misma pendiente; es decir, ha de ser: f '(x) = 10
 x = −1 f ' (x ) = 12 x 2 − 2...