derivada

UNIDAD V.- DERIVACION ALGEBAICA
OBJETIVO: Generalmente la derivación se lleva acabo aplicando fórmulas obtenidas mediante la
regla general de la derivación y que calcularemos a continuación, de estas podemos
derivar las funciones algebraicas, trascendentales, sucesivas y combinadas.

FORMULAS DE DERIVACION ALGEBRAICA

1) DERIVADA DE UNA CONSTANTE.
Emplearemos el método de loscuatro pasos. Si y = f (x) = c siendo c una constante

a) Evaluamos f en x+h, al incrementar x, la constante no cambia y, por lo tanto
tampococambia y, entonces f (x+h) = c

b) Restamos f(x).
f (x+h) – f(x) = c – c = 0

c) Dividimos por h.
f(x + h) – f(x) = 0 = 0
hh

d) Obtenemos el límite cuando h → 0
lim 0 = 0
h→ 0


Resumiendo.
Si y = c entonces y’ = 0 La derivada de unaconstante es igual a cero.




2) DERIVADA DE LA VARIABLE INDEPENDIENTE.(FUNCIÓN IDENTICA O IDENTIDAD)
Sea y = f(x) = x siguiendo la regla general o de los cuatro pasos:
a) y + y2 – y1 = x + h
b) y2 – y1 = h
c) y2 – y1 = h = 1
hh

d) limy2 – y1 = lim 1 = 1
h→ 0 h h → 0


Entonces:
Si y = x entonces y´ = 1 La derivada de la variableindependiente o con respecto a ella misma, es igual la unidad

3) DERIVADA DEL PRODUCTO DE UNA CONSTANTE POR LA VARIABLE
INDEPENDIENTE.
Sea la función y = cx, por ejemplo y = 5x
Entonces la derivada de y = 5x, es y’ = 5
Si y = 5x /3, entonces y’ = 5/3
Si y = cx entonces y´ = c La derivada del producto de una constante por la variable independiente es igual a la constante

4) LA DERIVADA DESUMA DE FUNCIONES
Si y = u + v + w en donde y = f(x) , u = f(x) , v = f(x), w = f(x)
Entonces y’ = u’ + v’ + w’ , Siempre que u, v, w sean diferenciables
Ejemplo.
Si y = (3x2 + 5x ) , entonces y´( 3x2 + 5x ) = y´( 3x2 ) + y´( 5x) = 6x + 5
La derivada de la suma algebraica de un número finito de funciones es igual a la suma algebraica de las derivadas de las funciones.Y´= u´+ v´+ w´

5) DERIVADA DE PRODUCTOS Y COCIENTES.
En esta sección, enfocaremos los dos más importantes teoremas que representan técnicas útiles cuando se requiere derivar funciones complicadas.
TEOREMA 1 REGLA DEL PRODUCTO
Si u(x) y v(x) son dos funciones de x diferenciables, entonces la derivada de su producto es:
(uv )’ = u v’ + u’ v
La derivada delproducto de dos funciones es igual a la primera función por la derivada de la segunda más la segunda función por la derivada de la primera.
TEOREMA 2. REGLA DEL COCIENTE.
Si u (x) y v(x) son dos funciones diferenciables de x, se tiene que:
( u ) = vu´- uv´
v v2
La derivada del cociente de dos funciones es igual al denominador por la derivada del numerador menos elnumerador por la derivada del denominador todo dividido entre el cuadrado del denominador.

6) DERIVADA DE UNA CONSTANTE POR UNA FUNCIÓN.
Si y = c u
Entonces y = 7x2 tiene como derivada la expresión:
y’ (7x2 ) 7( y' x2) = 7 (2x) = 14 x
Si y = c u Entonces y’ = c u’
La derivada de una constante por una función es igual a laconstante por la derivada de la función


7) DERIVADA DE LA POTENCIA DE UNA FUNCIÓN DE LA FORMA y = xn
Sea y = x n donde y = f (x)
u = x
n = No. entero positivo o negativo.
Si y = x 3 su derivada es y’ = 3x 2

Si y = x n Entonces y’ = n x n−1
Cuando el exponente es negativo:
Si y = x - n Entonces y' = - nx

Laderivada de la función potencial de x siendo su exponente un número entero
positivo o negativo, es igual al producto del exponente n por la potencia disminuida en la unidad

8) DERIVADA DE LA POTENCIA DE FUNCIONES
Si y = u n Entonces y = (3x + 2) 5 tiene como derivada:
y’ = 5 (3x + 2)5-1 y’ (3x + 2)
y´= 5 ( 3x + 2 ) 4(3) = 15 (3x + 2) 4

La derivada de la potencia de una función es...