Derivada

DEFINICIÓN DE DERIVADA
Tasa de variación
Consideremos una función y = f(x) y consideremos dos puntos próximos sobre el eje de abscisas "a" y "a+h", siendo "h" un número real que corresponde al incremento de x (Δx).

Se llama tasa de variación (T.V.) de la función en el intervalo [a, a+h], que se representa por Δy, a la diferencia entre las ordenadas correspondientes a los puntos de abscisasa y a+h.
Δy = [f(a+h) − f(a)]
Tasa de variación media
Se llama tasa de variación media (T.V.M.) en intervalo [a, a+h], y se representa por ó , al cociente entre la tasa de variación y la amplitud del intervalo considerado sobre el eje de abscisas, h ó Δx, esto es:




Interpretación geométrica
La expresión anterior coincide con la pendiente de la recta secante a la función f(x), quepasa por los puntos de abscisas a y a+h.

ya que en el triángulo PQR resulta que:

Ejemplos
1. Calcular la T.V.M. de la función f(x) = x2 − x en el intervalo [1,4].

2. El índice de la bolsa de Madrid pasó cierto año de 1350 a 1510. Hallar la tasa de variación media mensual.

Concepto de derivada
Derivada de una función en un punto
La derivada de la función f(x) en el punto x = a es elvalor del límite, si existe, de un cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero.


Ejemplos
1. Hallar la derivada de la función f(x) = 3x2 en el punto x = 2.



2. Calcular la derivada de la función f(x) = x2 + 4x − 5 en x = 1.





Interpretación geométrica de la derivada

Cuando h tiende a 0, el punto Q tiende a confundirse con el P. Entonces la rectasecante tiende a ser la recta tangente a la función f(x) en P, y por tanto el ángulo α tiende a ser β.


La pendiente de la tangente a la curva en un punto es igual a la derivada de la función en ese punto.
mt = f'(a)

Ejemplo
Dada la parábola f(x) = x2, hallar los puntos en los que la recta tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante.
La bisectriz del primer cuadrante tienecomo ecuación y = x, por tanto su pendiente es m = 1.
Como las dos rectas son paralelas tendrán la misma pendiente, así que:
f'(a) = 1.
Porque la pendiente de la tangente a la curva es igual a la derivada en el punto x = a.









Recta tangente a una curva en un punto
La recta tangente a una curva en un punto es aquella que pasa por el punto (a, f(a)) y cuya pendiente es igual a f'(a).

Ejemplo
Hallar la ecuación de la recta tangente a la parábola y = x2 − 5x + 6 paralela a la recta 3x + y − 2 = 0.
y = −3x + 2
La pendiente de la recta es el coeficiente de la x. m = −3
Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente.
f'(a) = 2a − 5
2a − 5 = −3a = 1
P(1, 2)
y − 2 = −3 (x − 1)
y = −3x + 5
Observamos que como la recta es paralela a la dada tiene la mismaFinal del formulario
Ecuación de la recta normal
Pendiente de la recta normal

La pendiente de la recta normal a una curva en un punto es la opuesta de la inversa de la pendiente de la recta tangente, por ser rectas perpendiculares sí.

Es decir, es la opuesta de la inversa de la derivada de la función en dicho punto.

Ecuación de la recta normal
La recta normal a a unacurva en un punto a es aquella que pasa por el punto (a, f(a)) y cuya pendiente es igual a la inversa de la opuesta de f'(a).





Ejemplo
Hallar la ecuación de la recta tangente y normal a la parábola y = x2 + x + 1 paralela a la bisectriz del primer cuadrante.
La bisectriz del primer cuadrante tiene de ecuación y = x, por tanto m = 1.
f'(a) = 2a + 1 = 1 a = 0
Punto de tangencia:(0, 1)Recta tangente:
y − 1 = x y = x +1
Recta normal:
m= 1 P(0, 1)
y − 1 = −x
y = −x + 1













Interpretación física de la derivada
Velocidad media
La velocidad media es el cociente entre el espacio recorrido (Δe) y el tiempo transcurrido (Δt).


Velocidad instantánea
La velocidad instantánea es el límite de la velocidad media cuando Δt tiende a cero,...