Derivada

Las Derivadas

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Enero del 2013

Introducción
Las derivadas son muy aplicadas a muchas ramas de las Matemáticas y de otras ciencias. Con ellas puedes, por ejemplo, representar funciones que, en un principio, pueden parecer muy complicadas. En este caso se tocara el tema de las derivadas como tema principal de este trabajo.

Derivadas
Concepto:
La derivada es unode los conceptos más importante en matemáticas. La derivada es el resultado de un límite y representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto. Pero vayamos por partes.
La definición de derivada es la siguiente:

Podría, pues, no existir tal límite y ser la función no derivable en ese punto. En esta primera práctica vamos a ver qué significa cada uno de lostérminos que aparecen en la formula anterior.
La derivada permite ver, a través de la pendiente en todo punto de la curva, la evolución o el cambio de muchos fenómenos físicos. Permite calcular los puntos clave ahí donde la pendiente es 0 (máximos y mínimos) para buscar los óptimos por ejemplo. Permite hacer otros muchos cálculos asociados a este hecho de la pendiente de la tangente en cada punto dela curva. En física, electricidad, electrónica, en química, permite estudiar muchos fenómenos evolutivos asociados como la velocidad, la aceleración, los flujos, las acumulaciones. Las derivadas están siempre presentes. Se utiliza en economía, se utiliza en gestión, se utiliza en arquitectura. Los sistemas de cálculo de frenado y de automatización utilizan derivadas, los sistemas y las máquinasautomatizadas para fabricar o para controlar utilizan derivadas. Por ejemplo, los sistemas que controlan la parada de vuestro ascensor para que ésta sea suave, se controla el “jerk” que es la derivada de la aceleración con relación al tiempo.
Fermat fue el primero en establecer, el uso de la derivada, aplicándola al estudio de puntos máximos y mínimos de una curva, pero fue Newton en 1669 quienla integró en un sistema matemático que es una genialidad y que se llama el Cálculo integral y diferencial y que se puede decir es la base matemática de la ciencia clásica. La relación entre la derivada y su primitiva (aquella curva de la que se puede derivar) funda el estudio de las diferenciales que sirven por ejemplo para cálculos de fenómenos de acumulación, reducción y dispersión. El estudiode la cantidad de carbono 14 en un hueso permite, por ejemplo, a través de una diferencial, llegar a calcular su edad.
Un ejemplo habitual aparece al estudiar el movimiento: si una función representa la posición de un objeto con respecto al tiempo, su derivada es la velocidad de dicho objeto. Un avión que realice un vuelo transatlántico de 4500 km en entre las 12:00 y las 18:00, viaja auna velocidad media de 750 km/h. Sin embargo, puede estar viajando a velocidades mayores o menores en distintos tramos de la ruta. En particular, si entre las 15:00 y las 15:30 recorre 400 km, su velocidad media en ese tramo es de 800 km/h. Para conocer su velocidad instantánea a las 15:20, por ejemplo, es necesario calcular la velocidad media en intervalos de tiempo cada vez menores alrededor de estahora: entre las 15:15 y las 15:25, entre las 15:19 y las 15:21, etc.
Rectas tangentes y ejemplos.
Una recta tangente a una curva en un punto, es una recta que al pasar por dicho punto y que en dicho punto tiene la misma pendiente de la curva. La recta tangente es un caso particular de espacio tangente a una variedad diferenciable de dimensión 1, .
Definición
Sea  una curva, y  un punto regularde esta, es decir, un punto no anguloso donde la curva es diferenciable, y por tanto en  la curva no cambia repentinamente de dirección. La tangente a  en  es la recta  que pasa por  y que tiene la misma dirección que  alrededor de .
La tangente es la posición límite de la recta secante () (el segmento  se llama cuerda de la curva), cuando  es un punto de  que se aproxima indefinidamente al...