Derivada

Derivada

Facultad de Contaduría y Administración. UNAM

Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

MATEMÁTICAS BÁSICAS
DERIVADA
INCREMENTOS
Se define como incremento de la variable x al aumento o disminución que experimenta, desde un valor
x1 a otro x2 , en su campo de variación. Se denota por ∆x . Por tanto:

∆x = x2 − x1
y

x1

x2

x

∆x = x2 - x1

De forma análoga, el incremento de la variableun valor

y es el aumento o disminución que experimenta, desde

y1 a otro y 2 , en su campo de variación. Se denota por ∆ y , esto es:
∆y = y2 − y1
y

y2 = f(x2)

∆y = y2 - y1

y1 = f(x1)

x

1

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Por definición, los incrementos pueden ser:
∆ > 0 si el valor final es mayor que el inicial

∆<0
∆=0

siel valor final es menor que el inicial
si el valor final es igual que el inicial

Ejemplos.
1) Sea y = 4 x
Solución:

2

− 3 , obtener ∆x y ∆ y si x pasa de 2 a 2.5

x1 = 2, x2 = 2.5
∆x = 2.5 − 2 = 0.5

y1 = f ( x1 ) = f (2 ) = 4(2) − 3 = 16 − 3 = 13
2

y2 = f ( x2 ) = f (2.5) = 4(2.5) − 3 = 25 − 3 = 22
2

∆y = y2 − y1

∆y = 22 − 13 = 9

2) Sea y = 6 x
Solución:

3

− 2 x − 10 , obtener ∆x y ∆ y six pasa de 3 a 3.02

x1 = 3, x2 = 3.02
∆x = 3.04 − 3 = 0.02

y1 = f ( x1 ) = f (3) = 6(3) − 2(3) − 10 = 162 − 6 − 10 = 146
3

y2 = f ( x2 ) = f (3.02) = 6(3.02) − 2(3.02) − 10 = 165.2616 − 6.04 − 10 = 149.2216
3

∆y = y2 − y1

∆y = 149 .2216 − 146 = 3 .2216

Como puede observarse,

x2 . De la misma forma,
inicial x1 . Esto es:

y 2 es el valor final de la variable dependiente cuando a x
y1 es elvalor inicial de la variable dependiente cuando a x

se le asigna el valor
se le asigna el valor

y1 = f (x1 )
y2 = f (x2 )

∆x = x2 − x1 , se despeja x2 :
x2 = x1 + ∆x
por lo que y 2 es:
f (x2 ) = f (x1 + ∆x)
por lo tanto, sustituyendo en ∆y = y2 − y1 :
∆y = f ( x1 + ∆x) − f ( x1 )
Ahora, de

Esto significa que al darle un incremento a

x

en el punto

x1 le corresponde a y

∆y = f ( x1 + ∆x) − f( x1 ) .
2

un incremento:

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∆x :
∆y f ( x1 + ∆x ) − f ( x1 )
=
∆x
∆x

Ahora, si a la expresión anterior se divide por

se obtiene el cociente de incrementos.

DEFINICIÓN DE DERIVADA
Se define como derivada de una función
del cociente de incrementos

y = f (x)

con respecto a

x

en un punto

x1 , allímite, si existe,

∆y
cuando ∆x tiende a cero.
∆x

Esto significa que la derivada es el límite del cociente del incremento de la variable dependiente, entre el
incremento de la variable independiente, cuando éste tiende a cero, y se denota por:

f ' ( x1 ) = lim

∆x→0

f ( x1 + ∆x ) − f ( x1 )
∆x

Las notaciones más comunes de la derivada de la función

y'

dy
dx
Dx y

ó
ó
ó

Dx f ( x )

ó

f (x)

•

y

f ' (x)
df (x )
dx

y = f (x)

con respecto a

x

son:

Notación de Lagrange
Notación de Leibniz
Notación de Cauchy

•

Notación de Newton
1

La más usada es la notación de Leibniz . Las distintas partes de estas expresión carecen de todo
significado cuando se consideran separadamente. Las d no son números, no pueden simplificarse, y la
expresión completa no es el cociente de otros dosnúmeros "dy " y

"dx" '.

Leibniz llegó a este símbolo a través de su noción intuitiva de la derivada, que él consideraba no como el

f ( x1 + ∆x ) − f ( x1 )
, sino como el “valor” de este cociente cuando ∆x es un
∆x
número infinitamente pequeño. Esta cantidad “infinitamente pequeña” fue designada por dx y la
correspondiente diferencia “infinitamente pequeña” f ( x + ∆x) − f ( x ) por df ( x ) .límite de los cocientes

MÉTODO DE LOS CUATRO PASOS
Para hallar la derivada de una función se sigue un procedimiento conocido como método de los cuatro
pasos que consiste en:

1

Leibniz es generalmente considerado como el codescubridor independiente del cálculo infinitesimal (junto con Newton).

3

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∆x : f (x + ∆x )
A lo obtenido, se le...