DERIVADA

DERIVADA
En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variableindependiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.

Definición como cociente de diferencias
La derivada de una función , es la pendiente geométrica de la recta tangente del gráfico de  , en . Sin el concepto que se va a definir, no es posible encontrar directamente la pendiente de la línea tangente a una función dada,porque solamente se conoce un punto en la línea tangente:. La idea es aproximar la línea tangente con múltiples líneas secantes que tienen distancias progresivamente más pequeñas entre los dos puntos que cruzan. Cuando se toma el límite de las pendientes de las líneas secantes de esta progresión, se consigue la pendiente de la línea tangente. Se define, pues, la derivada tomando el límite de lapendiente de las líneas secantes, al acercarlas a la línea tangente.
Para encontrar las pendientes de las líneas secantes próximas, se elige un número , relativamente pequeño. , representa un cambio relativamente pequeño en , el cual puede ser positivo o negativo. La pendiente de la recta que pasa por los dos puntos y es:

Expresión denominada «cociente de Newton».
La derivada de enes entonces el límite del valor del cociente diferencial, conforme las líneas secantes se aproximan a la línea tangente:

Si la derivada de  , existe en todos los puntos , se puede definir la derivada de  , como la función cuyo valor en cada punto , es la derivada de  , en .
Puesto que sustituir , por 0 produce una división por cero, calcular directamente la derivada puede no serintuitivo. Una técnica posible consiste en operar en el numerador, de manera que se pueda cancelar la , del denominador. Y eso es posible fácilmente en los polinomios. Pero para muchas otras funciones el resultado es incierto. Afortunadamente, hay reglas generales que facilitan diferenciar la mayoría de las funciones simples.

Derivada de una función
Considerando la función f definida enel intervalo abierto I y un punto a fijo en I, se tiene que la derivada de la función f en el punto  se define como sigue:
, si este límite existe, de lo contrario, , la derivada, no está definida. Esta última expresión coincide con la velocidad instantánea del movimiento continuo uniforme acelerado en cinemática.
Aunque podrían calcularse todas las derivadas empleando la definición de derivada comoun límite, existen reglas bien establecidas, conocidas como teoremas para el cálculo de derivadas, las cuales permiten calcular la derivada de muchas funciones de acuerdo a su forma sin tener que calcular forzosamente el límite. Tales reglas son consecuencia directa de la definición de derivada y de reglas previas, como puede apreciarse en todo buen texto de cálculo infinitesimal.
Tambiénpuede definirse alternativamente la derivada de una función en cualquier punto de su dominio de la siguiente manera:

La cual representa un acercamiento de la pendiente de la secante a la pendiente de la tangente ya sea por la derecha o por la izquierda según el signo de . El aspecto de este límite está relacionado más con la velocidad instantánea del movimiento uniformemente acelerado que con lapendiente de la recta tangente a una curva.
No obstante su aparente diferencia, el cálculo de la derivada por definición con cualquiera de los límites anteriormente expresados, proporciona siempre el mismo resultado.
Ejemplo
Sea la función cuadrática f(x)= x2 definida para todo x perteneciente a los reales. Se trata de calcular la derivada de esta función para todo punto x ∈ R —...