Derivada

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

Por:

Ing. Mario René De León García.

En esta unidad se introduce al estudiante al Cálculo Diferencial, con el tema de derivada de una función. Para el efecto,
se iniciará con el estudio de las rectas secantes y tangentes a la curva de una función, cuando pasan por un punto particular
.

1.

PENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE A LA CURVA DE UNA FUNCIÓN

La palabra tangente sederiva de la palabra latina “tangens”, la cual significa “tocar”, es decir, cuando se habla de una
recta tangente a una curva, es una recta que pasa tocando a la curva en un punto de la forma como la hace la recta tangente a la
circunferencia de un círculo. Una línea que corta o atraviesa la curva de una función por dos puntos diferentes como mínimo, se le
llama recta secante.
Sí se quieredeterminar la pendiente de la recta tangente a la curva de la función en un punto
, entonces se podría
iniciar por encontrar la pendiente de una recta secante que pase por este punto y otro muy cercano cuyas coordenadas serían
. Se inicia con un valor de
muy próximo a
, por ejemplo
y se calcula la pendiente de la recta
secante. Luego se toma un valor más pequeño para
y se repite el procedimiento paracalcular la nueva pendiente. A medida
que
es un valor cercano a cero, la pendiente tiende a tomar un mismo valor numérico, el cual corresponde a la pendiente de la
recta tangente. Esto se ilustra en la siguiente gráfica:

y

x
Por definición de pendiente de una recta, se tiene que:

Donde

y

son dos puntos que pertenecen a la recta.

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Derivada de una función

Para una recta secante a la graficade una función
horizontal entre estos es , se tiene:

y tomando dos puntos de la curva, de tal forma que la distancia

Para encontrar la pendiente de la recta tangente a la curva en
pendiente de la recta tangente se calcula por un límite

,

debe ser muy cercana a cero, por lo tanto la

Sí se quiere encontrar una función que permita calcular la pendiente de la recta tangente a la curva de unafunción en
cualquier valor , entonces, a esta función se le denominará derivada de la función, la cual viene dada por:

DERIVADA DE LA FUNCIÓN (Definición)
Sea
una función que es continúa en un intervalo abierto
, donde
, entonces la función que
permite calcular la pendiente de la recta tangente a la curva en cualquier punto del intervalo viene dada en forma
general por:

Donde

se define como laderivada de

Por definición de pendiente de una recta, se sabe que

en

, siempre que el límite exista.

. Para el cálculo de la pendiente de la recta tangente a la

curva, se busca que el cambio en x, es decir
, sea muy cercano a cero; esto hace que el cambio en y,
, también se
acerque a ser cero. Sí
a este cambio se le denomina diferencial
, de igual manera, si
se convierte en el
diferencial
. Estopermite introducir la siguiente nomenclatura para la derivada de una función:

EJERCICIO 1:
Observe al profesor calcular la pendiente de la recta tangente a la curva de la función, utilizando el método numérico:

En el punto donde

.

Preparado por: Ing. Mario René De León García

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Derivada de una función

Es posible definir la derivada de una función en un punto, de la forma siguiente:DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
Sea
una función que es continúa en un intervalo abierto
, donde
, entonces la derivada
de esta función en
se define como la pendiente de la recta tangente a la curva de la función
en el
punto
. La pendiente de esta recta se calcula de la forma siguiente:

O bien:

2.

CONCEPTOS SOBRE PENDIENTE Y ECUACIONES DE LA RECTA. RECORDATORIO

La pendiente de una recta indica lainclinación de la misma en relación a los ejes de coordenadas. Para poder definir el
concepto de pendiente, se toman dos puntos cualesquiera de la función, de tal forma que la proyección de sus coordenadas define
un triángulo rectángulo de la forma siguiente:

De acuerdo a la figura adjunta, la
pendiente se define como:

y

En esta igualdad se tiene que:

=

Cambio de valor y
vertical (cambio...