Derivada

Derivada

La derivada de la función en el punto marcado equivale a la pendiente de la recta tangente (la gráfica de la función está dibujada en rojo; la tangente a la curva está dibujada en verde).En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de unafunción es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente setorna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.


Velocidad media
La velocidad media es el cociente entre el espacio recorrido (Δe) y eltiempo transcurrido (Δt).







Velocidad instantánea



Ejemplo
La relación entre la distancia recorrida en metros por un móvil y el tiempo en segundos es e (t) = 6t2. Calcular:
1. la velocidad mediaentre t = 1 y t = 4.
La velocidad media es el cociente incremental en el intervalo [1, 4].

2. La velocidad instantánea en t = 1.
La velocidad instantánea es la derivada en t = 1.


 interpretacióngeométrica de la derivada

Cuando h tiende a 0, el punto Q tiende a confundirse con el P. Entonces la recta secante tiende a ser la recta tangente a la función f(x) en P, y por tanto el ángulo α tiendea ser β.


La pendiente de la tangente a la curva en un punto es igual a la derivada de la función en ese punto.
Mt = f'(a)
Ejemplo 
Dada la parábola f(x) = x2, hallar los puntos en los que la rectatangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante.
La bisectriz del primer cuadrante tiene como ecuación y = x, por tanto su pendiente es m = 1.
Como las dos rectas son paralelas tendrán lamisma pendiente, así que:
F'(a) = 1.
Porque la pendiente de la tangente a la curva es igual a la derivada en el punto x = a.





Cálculo de la derivada
La derivada de una función, en principio, puede...