Derivadas 1

Cap´ıtulo 3
Derivadas
3.1.

Definici´
on e interpretaci´
on gr´
afica y como aproximaci´
on lineal

Derivar una funci´on consiste en encontrar su mejor aproximaci´on lineal alrededor de un
punto.
Ejemplo 3.1.1. Como primer ejemplo tomemos una esfera de radio R, ecuaci´on x2 +y 2 +z 2 =
R2 . Tomemos un punto (x0 , y0 , z0 ) en la esfera y veamos que pasa en otros puntos cercanos.
Escribamos x = x0+ x, y = y0 + y, z = z0 + z y observermos que
x2 + y 2 + z 2 = (x0 + x)2 + (y0 + y)2 + (z0 + z)2
= x20 + y02 + z02 +2x0 x + 2y0 y + 2z0 z + x2 + y 2 + z 2 .
|
{z
}

(3.1.1)
(3.1.2)

=R2

Por lo tanto, (x, y, z) est´a en la esfera si y s´olo si

2x0 x + 2y0 y + 2z0 z + x2 + y 2 + z 2 = 0,

(3.1.3)

una ecuaci´on cuadr´atica en x, y, z. Ahora bien, si (x, y, z) ⇡ (x0 , y0 , z0 ) entonces x, y, zson peque˜
nos. Cuando esto sucede, x2 , y 2 , z 2 son a´
un m´as peque˜
nos, de modo que la
ecuaci´on anterior se parece a
2x0 (x

x0 ) + 2y0 (y

y0 ) + 2z0 (z

z0 ) = 0.

(3.1.4)

Esta es la ecuaci´on lineal que m´as se parece a la ecuaci´on cuadr´atrica y representa a la
estructura lineal (rectil´ınea) que m´as se parece a la esfera: su plano tangente (es la ecuaci´on
de un plano que pasa por (x0, y0 , x0 ) y es perpendicular al radio vector (x0 , y0 , z0 )).

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Ejemplo 3.1.2. Vimos que si x ⇡ 9 entonces
p
p
x = 3 + ( x 3)
| {z }

(3.1.5)

error 1

x 9
=3+ p
x+3
✓
◆
x 9
x 9
x 9
=3+
+ p
6
6
x+3
|
{z
}

(3.1.6)
(3.1.7)

error 2

y que

|error 2| = |x
= |x

9| p

p
9|| x

1
|x
6·3
1
=
|x
6·3


1
x+3
3| ·

p
9|| x

1
6

(3.1.8)

1
6| x + 3|
p

(3.1.9)

3|

(3.1.10)

|x 9|
1
9| p

|x
6 ·32
x+3

9|2 .

(3.1.11)

Que el error sea cuadr´atico ayuda mucho: p.ej. para garantizar cuatro decimales de precisi´on
(" = 10 4 ) basta que |x 9|2  54 · 10 4 , en particular |x 9| < 7 · 10 2 = 0,07 es suficiente.
Lo anterior
nos muestra que podemos estar seguros de que el error cometido al aproximar,
p
p.ej. 9,07 por
9,07 9
7
6
1 1
1
=3+
=3+
+
· = 3,01 +
· 0, 16 = 3,0116
(3.1.12)
6
600
600 1006
100
p
es de menos de 10 4 . La calculadora nos muestra que esto es as´ı: 9,07 = 3,011644069 . . .,
s´olo hay diferencias a partir del quinto decimal.
p
Son dos las caracter´ısticas principales de nuestra aproximaci´on x ⇡ 3 + x 6 9 :
3+

La expresi´on 3 +
la del 3,0116.

x 9
6

es lineal en x lo cual permite, p.ej. una aritm´etica simple como

El error cometido, 10 4 , es mucho m´as peque˜
noque la distancia 0,07 de x = 9,07 al
valor inicial x0 = 9.
Podemos generalizar el ejemplo anterior al caso de cualquier funci´on f (x). Queremos
encontrar la ecuaci´on lineal que mejor aproxima a la funci´on. En t´erminos del gr´afico de f ,
queremos encontrar la recta tangente al gr´afico en el punto (x0 , f (x0 )). Para que pase por
ese punto, la ecuaci´on debe ser de la forma y = f (x0 ) + m(xx0 ), luego s´olo nos falta
encontrar el valor de la pendiente m. Queremos que el error cometido al aproximar f (x) por
esta expresi´on lineal:
f (x)

[f (x0 ) + m(x

x0 )] = [f (x)
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f (x0 )]

m(x

x0 )

(3.1.13)

sea mucho m´as peque˜
no que la distancia x

x0 al punto x0 . Para esto pidamos que

f (x0 )] m(x x0 )
= 0.
x!x0
x x0
Se concluye que hay una s´ola definici´on posible para m:
l´ım[f (x)

(3.1.14)

f (x) f (x0 )
f (x0 + h) f (x0 )
.
(3.1.15)
= l´ım
x!x0
h!0
x x0
h
A este valor de la pendiente de la recta tangente al gr´afico de f en x0 lo llamamos la derivada
df
de f en x0 y la denotamos o bien por f 0 (x0 ) o por
.
dx x=x0
La derivada f 0 es ella misma una funci´on: si cambiamos de x0 , cambia el valor de la
pendiente.
Ejemplo 3.1.3.
1. La derivada de f (x) = x2 en x = x0es
m := l´ım

f 0 (x0 ) = l´ım

x!x0

x2
x

x20
= l´ım (x + x0 ) = 2x0 .
x!x0
x0

(3.1.16)

Cambiando x0 por x vemos que f 0 (x) = 2x.
2. La recta tangente al gr´afico de f en (x0 , x20 ) es la recta de ecuaci´on y x20 = 2x0 (x x0 ).
3. Vista la derivada como mejor aproximaci´on lineal, lo u
´nico que hemos hecho es decir
que si a partir de x0 nos desplazamos una peque˜
na distancia h (hacia la...