Derivadas Aplicaciones

Relaci¶
on de Problemas de C¶
alculo para la Computaci¶
on
Escuela T¶
ecnica de Inform¶
atica de Gesti¶
on
Derivaci¶
on de funciones reales de variable real

1. Encontrar la derivada de las funciones dadas:
(a) f(x) = e 3x

(b) g(x) = 23x+1 (c) h(x) =
sen23t
(d) y = sen2x ¢ cos3x (e) e(t) = ln 3
t

p

x2 ¢ e ¡x

2. Funciones de¯nidas a trozos.
(a) Estudiar la continuidad y derivabilidad de lassiguientes funciones:
½
2x + 3
x·2
f (x) =
s(t) = t ¢ jt ¡ 2j
x2 ¡ 2x
x>2
(b) Determinar los coe¯cientes a y b para que f(x) sea derivable en el punto x = 1.
½ 2
x +1
x¸1
f(x) =
ax + b
x <1
3. Recta tangente.
(a) Hallar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva y =
Comprobar gr¶a¯camente el resultado.

p
x en el punto x = 1.

(b) Encontrar los puntos de la gr¶a¯ca de la funci¶on
x3y=
¡ 3x2 + 8x
3
donde la tangente sea horizontal. >En qu¶e punto la tangente es paralela a la recta x+y = 5?
4. Derivadas sucesivas.
(a) Hallar una f¶ormula para la derivada n-¶esima de la funci¶on f (x) = ln x
(b) Hallar la derivada tercera de la funci¶on f(x) = x ¢ cos x
5. Derivaci¶on impl¶³cita.
(a) Derivar de manera impl¶³cita y expl¶³cita la funci¶on y = f (x) que queda de¯nida a trav¶es
dela igualdad x2 + y2 = 4
6. Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes a la circunferencia (x ¡ 2)2 + (y ¡ 2) 2 = 2 en los
puntos en los que x = 3

7. Hallar y0 usando derivaci¶on logar¶³tmica en las siguientes expresiones:
(a) y = xtg x (b) y =

x3sen2x
(x + 1)(x ¡ 2)2

8. Raz¶on de cambio.
(a) Un tanque cil¶³ndrico con eje vertical se encuentra lleno con 200.000 litros de agua. Este
tanquetarda 50 minutos en vaciarse desde que se abre el desague del fondo. El volumen
al cabo de t minutos viene de¯nido por la f¶ormula:
µ
¶
t 2
v(t) = 200:000 1 ¡
Ley de Torricelli
50
Hallar la raz¶on instant¶anea a la que °uye el agua a los 30 minutos de abrir el tanque.
(b) Los miembros de cierta familia de roedores asciende a un total de P = 100(1+00 3t+0004t2)
despu¶es de t meses.
i. > Cu¶antotardar¶a esta poblaci¶on en duplicar su tama~no inicial ?
ii. > Cu¶al es la raz¶on de crecimiento de la poblaci¶on cuando P = 200 ?
(c) Encontrar la raz¶on de cambio del ¶area de un c¶³rculo respecto de la longitud de su circunferencia.
9. Aproximaci¶on lineal. Calcular el valor aproximado de arctg 10 1
10. Hallar la derivada de las funciones hiperb¶olicas.
11. C¶alculo de l¶³mites: In¯nit¶esimos yL'Hopital.
(a) Obtener el valor de los siguiente l¶³mites, aplicando in¯nit¶esimos.
Ã
µ ¶1=x !
2sen2x
ex ¡ 1
1
lim
lim
lim x 1 ¡
x!0 x2(1 + cosx)
x!0 sen(2x)
x!1
5

lim

x!1

ln x
1¡x

(b) Calcular los siguientes l¶³mites:
1 ¡ x + ln x
lim
x!1 1 + cos(¼x)
µ
¶
x¡1
lim x ln
x!1
x+1

ex
lim
x!1 x2 + x
µ
¶
1
1
lim
¡
x!0 x
senx

(x3 ¡ 3)(1 + cosx)senx
lim
x!0
(x2 ¡ x)cosx
x1=3
x!1 ln x

lim (cosx)1=x

limx!0

12. Taylor.
(a) Hallar un polinomio P (x) de cuarto grado que cumpla:
P (0) = 1 ;

P 0(0) = 0

;

P 00(0) = 0

;

P 000(0) = 6

;

P 4)(0) = 48

(b) Expresar en potencias de (x ¡ 1) el polinomio 2 + 3x + 5x2.
(c) Hallar polinomio de Taylor de grado 5 de las funciones:
f(x) = ex
u(x) = (1 + x)n

g(x) = senx
2x + 3
v(x) =
x¡1

h(x) = cosx
1
w(x) =
1¡x

2

0

(d) Utilizar el polinomio de Taylorde grado 2 para calcular el valor aproximado de e0 2 .
Estimar el error cometido.
p
(e) Aproximar el valor de 3 e con un error menor que 0001.
13. Problemas de M¶aximos y M¶³nimos.
4
(a) Hallar los extremos relativos de la funci¶on f(x) = x + .
x
(b) Hallar los extremos absolutos de las siguientes funciones en el intervalo que se especi¯ca:
a(x) = 2x3 ¡ 3x2 ¡ 12x + 15
c(x) = 3 ¡ jx ¡ 2j

en

en[0; 3]

[1; 4]

b(x) = x5 ¡ x

en

d(x) =

en R

x2
x2 + 1

(2; 4]

(c) Hallar a, b, c y d para que la funci¶on f(x) = ax3 + bx2 + cx + d tenga un m¶³nimo relativo
de valor ¡3 en x = 0 y un m¶aximo relativo de 4 en x = 0.
(d) Hallar a, b y c para que la gr¶a¯ca de la funci¶on f(x) = ax3 + bx2 + cx tenga una tangente
horizontal en el punto de in°exi¶on (1; 1).
(e) Un granjero tiene 200m. de tela...