derivadas de funciones reales

INCREMENTO DE UNA FUNCION

La palabra incremento se entiende como el aumento del valor de una variable. El incremento Δx de una variable x es el cambio en x cuando esta crece o decrece desde un valor , hasta un valor y se escribe .

Si y=f(x), entonces , es el incremento de y para un incremento de x

INCREMENTO RELATIVO DE UNA FUNCION

El incremento relativo de dos variables es larazón de sus incrementos . El incremento relativo de y respecto a x es .

Si y=f(x), el incremento relativo de la función respecto de la variable independiente x, es la transformación que experimenta la función por cada unidad de cambio en x.
Simbólicamente:
Ejemplo: Si y=3x-1 halla el incremento relativo
Solución

Se tiene y = f(x) = 3x-1, aplicando la definición de incrementorelativo se tiene:(se cambia x por x+Δx)
Eliminando corchetes


DERIVADA DE UNA FUNCIÓN













En esta definición x permanece fijo, en tanto que Δx tiende a cero. Si el límite no existe para un valor particular de x la función no tiene derivada en ese valor. Se acostumbra a denotar la derivada de la función y=f(x) por: , , y’ , f’(x) , ,
Ejemplo: calcula la derivada de ,utilizando la definición de derivada
Solución
Por definición
Se calcula primero el incremento relativo

Se aplica límite cuando Δx tiende a cero




REGLAS BASICAS DE DERIVACIÓN

Una vez conocida la definición de derivada, se pueden utilizar reglas prácticas para calcular la derivada de diferentes funciones, setas reglas son:

1. DERIVADA DE UNA COSNTANTE: La derivada de unaconstante es igual a cero.

Simbolicamente: si f(x) = c, entonces f’(x)=0, siendo c una constante para todos los valores de x

Ejemplo: y= -5 , entonces y’ = 0

2. DERIVADA DE UNA FUNCION LINEAL: la derivada de la función lineal es igual al coeficiente de la variable.

Simbolicamente: Si f(x)=mx+b, entonces f’(x)=m, siendo m la pendiente de la recta.

Ejemplo: y = -2x+3, entonces y’=-23. DERIVADA DE UNA POTENCIA: La derivada de una potencia es igual a la potencia multiplicada por la base elevada al exponente menos 1.

Simbólicamente: si , entonces

Ejemplo: , entonces

* Observación: Recuérdese que algunas funciones pueden reescribirse con el objeto de ser derivadas como una potencia, tal es el caso de y que

4. DERIVADA DE UNA CONSTANTE POR UNA FUNCION: Laderivada de una constante por una función es igual al producto de la constante por la derivada de la función.

Simbólicamente: Si f(x)=c.g(x), entonces f’(x)=c. g’(x)

Ejemplo:,entonces






DERIVADA DE FUNCIONES ESPECIALES

Función
Derivada
f(x)= ax
f’(x)=) = ax●lna
f(x) = ex
f’(x)= ex
f(x) = logax
f’(x)=
f(x) = lnx
f’(x)=
f(x) = senx
f’(x)=cosx
f(x) = cosxf’(x)=-senx
f(x)= tanx
f’(x)=sec2x
f(x)= cotx
f’(x)=-cosc2x
f(x)=secx
f’(x)=secx.tanx
f(x)= coscx
f’(x)=-coscx.cotx


ALGEBRA DE DERIVADAS

1. DERIVADA DE UNA SUMA O DIFERENCIA DE FUNCIONES: La derivada de una suma o resta de funciones es igual a la suma o resta de las derivadas de cada una de las funciones.

Simbólicamente:
Si f(x) y g(x), tienen derivadas y F(x) = f(x) ±g(x), entonces

Ejemplo: F(x) = senx+lnx
Solución
Se observa que F(X) está formada por dos funciones , llamemos f(x) = senx y g(x)= lnx, de manera que f’(x)= cosx y g’(x)=
Como F(x) = f(x) + g(x), entonces
reemplazando


2. DERIVADA DEL PRODUCTO DE DOS FUNCIONES: la derivada del producto de dos funciones es igual a la derivada de la primera función por la segunda, más laprimera por la derivada de la segunda.

Simbólicamente:
Si f(x) y g(x), tienen derivadas y F(x)=f(x)*g(x), entonces

Ejemplo: Calcular F’(x) , si F(x) =
Solución
Sea f(x) = 5x3 , entonces f’(x)= 15x2 y g(x) = cosx, entonces g’(x)=-senx
Como F(x) = f(x)●g(x)
reemplazando las derivadas

3. DERIVADA DEL COCIENTE DE DOS FUNCIONES: La derivada del cociente de dos funciones es...