Derivadas de funciones trigonométricas
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA
“ANTONIO JOSÉ DE SUCRE”
AMPLIACIÓN – GUARENAS
CÀTEDRA: MATEMATICA (SAIA)
MATEMATICA III
DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Autores: Luis Rafael LeónC.I: 11.482.570
Alexander Sojo
C.I. V-12.829.638
José G. Pérez
C.I. V-17.118.856
Profesor: Roxana Tovar
Guarenas, 24 de Octubre del 2.011
Introducción
La derivación de las funcionestrigonométricas es el proceso matemático de encontrar el ritmo al cual una función trigonométrica cambia respecto de la variable independiente; es decir, la derivada de la función. Las funciones trigonométricas más habituales son las funciones sin(x), cos(x) y tan(x). Por ejemplo, al derivar f(x) = sin(x), se está calculando la función f'(x) tal que da el ritmo de cambio del sin(x) en cada punto x.Derivadas de Funciones Trigonométricas
La derivada de las funciones trigonométricas es el proceso matemático de encontrar el ritmo al cual una función trigonométrica cambia respecto de la variable independiente; es decir, las derivadas de la función. Las funciones trigonométricas más habituales son las funciones sin(x), cos(x) y tan(x). Por ejemplo, al derivar f(x) = sen(x), se está calculando lafunción f'(x) tal que da el ritmo de cambio del sen(x) en cada punto x.
Las derivadas de las funciones trigonométricas se presentan de esta manera: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante.
Derivadas de funciones trigonométricas básicas
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Derivada de la función trigonométricas seno
A partir de la definición de la derivada de unafunción f(x)
Por tanto si f(x) = sin(x)
A partir de la identidad trigonométrica sin(A + B) = (sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B), se puede escribir
Agrupando los términos cos(x) y sin(x), la derivada pasa a ser
Reordenando los términos y el límite se obtiene
Ahora, como sin(x) y cos(x) no varían al variar h, se pueden sacar fuera del límite para obtener
El valor de los límites
Son 1 y 0respectivamente por Teorema del sándwich. Por tanto, si f(x) = sin(x),
Derivada de la función trigonométricas coseno
Si f(x) = cos(x)
A partir de la identidad trigonométrica cos(A + B) = cos(A)cos(B) − sin(A)sin(B), se puede escribir
Operando se obtiene
Como sin(x) y cos(x) no varían al variar h, se pueden sacar fuera del límite para obtener
El valor de los límites
Son 1 y 0respectivamente. Por tanto, si f(x) = cos(x),
Derivada de la función trigonométricas tangente
A partir de la regla del cociente, según la cual si la función que se quiere derivar, , se puede escribir como
y , entonces la regla dice que la derivada de es igual a:
A partir de la identidad trigonométrica
haciendo:
sustituyendo resulta
Operando
y aplicando las identidadestrigonométricas
Resulta
Derivada de la función trigonométricas arcoseno
Tenemos una función , que también se puede expresar como . Derivando implícitamente la segunda expresión:
Tenemos además que , i que . Sustituyendo, tenemos la fórmula final:
Ejemplo #1
y = csc(x)cot(x)
y' = ( − csc(x)csc2(x)) − cot(x)csc(x)cot(x)
y' = − csc(x)csc2(x) − cot2(x)csc(x)
y' = − csc3(x)− cot2(x)csc(x)
Las funciones trigonométricas inversas y sus derivadas
Conviene recordar que:
a.
Si una función es continua y estrictamente creciente (decreciente) en un intervalo, entonces posee función inversa la cual también es continua y estrictamente creciente (decreciente).
b.
Las funciones trigonométricas son periódicas por lo que la correspondencia entre la variable independiente y...
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