Derivadas de funciones

Aplicaciones de las derivadas

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
Autores: Paco Martínez (jmartinezbos@uoc.edu), Patrici Molinàs (pmolinas@uoc.edu).

ESQUEMA DE CONTENIDOS

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Conceptos

Ejemplos

Aplicaciones de las Derivadas

Aritmética Desarrollo de Taylor Comparación de algoritmos

Fórmula de Taylor

Resto de Lagrange

Regla de l’Hôpital
Fórmula deMac-Laurin

Órdenes de los algoritmos

Indeterminaciones

Ari tmética

Proyecto e-Math Financiado por la Secretaría de Estado de Educación y Universidades (MECD)

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Aplicaciones de las derivadas

INTRODUCCIÓN

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Empezaremos el Math-block hablando de la aproximación polinómica a una función cualquiera en un punto dado de su dominio. Se presenta el proceso deconstrucción del polinomio de Taylor que aproxima una función cualquiera alrededor de un punto cualquiera del dominio (si el polinomio se desarrolla para describir el comportamiento de la función alrededor de cero recibe el nombre de polinomio o serie de Mac-Laurin). La aproximación de una función hace que se pueda resolver, de forma numérica, muchas situaciones cuyas funciones son difíciles demanejar. De hecho, en informática, en los software, se utiliza mucho las aproximaciones polinómicas. Después hablaremos de la Regla de l’Hôpital, que nos ayudará a calcular límites derivando funciones. Por último determinaremos cuál de dos algoritmos es más eficiente, el mejor, i.e.: cuál de los dos requiere de un tiempo de computación menor para llegar a la solución. Para determinar cuál de los doses más eficiente, recurriremos al concepto de límite en el infinito y a la regla de l’Hôpital.

OBJETIVOS
1. 2. 3. 4.

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Calcular el polinomio que mejor aproxima una función alrededor de un punto, y utilizarlo para evaluar la función de forma aproximada. Comparar el polinomio de Taylor con la función original, numérica y gráficamente. Calcular límites indeterminadospor medio de la regla de l’Hôpital. Comparar el orden de magnitud de las funciones más usuales en el cálculo de la complejidad de un algoritmo.

CONOCIMIENTOS PREVIOS

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Para poder seguir con éxito esta unidad es recomendable haberse leído los siguientes Mathblocks: Uso básico del Mathcad, Funciones de una variable, Límites de funciones y Derivación.CONCEPTOS FUNDAMENTALES
Fórmula de Taylor

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Si f es n veces derivable en x = a, el polinomio siguiente se llama polinomio de Taylor de grado n en x = a.

Pn ,a ( x) = f (a ) +

f ' (a) f ' ' (a ) f n ) (a) ( x − a) + ( x − a) 2 + L + ( x − a) n 1! 2! n!

La diferencia f(x) - Pn,a(x) se llama resto o Error, y se designa por Rn,a(x).

Rn ,a ( x) = f ( x) −Pn ,a ( x) ⇒ f ( x) = Pn ,a ( x) + Rn ,a ( x)
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Aplicaciones de las derivadas Teorema de Taylor: 1. Si f es una función con derivada n-ésima en x = a, se cumple

lim
x →a

Rn , a ( x ) ( x − a) n

=0

2. Si en un entorno E(a) existe f entre a y x, tal que

n+1)

(x), entonces ∀x∈E(a)existe algún c, comprendido

Rn, a ( x) =

f n +1) (c) ( x − a ) n +1 (n + 1)!

(Resto de Lagrange).

Con lo que el desarrollo de Taylor con el residuo de Lagrange queda así:

f ( x) = f (a) +

f ' (a) f ' ' (a) f n ) (a) f n +1) (c) ( x − a) n+1 ( x − a) n + ( x − a) 2 + L + ( x − a) + n! (n + 1)! 2! 1!

Cuando a = 0 se llama fórmula de Mac-Laurin.

f ( x) = f (0) +

f ' (0) f ' '(0) 2 f n ) (0) n f n +1) (c) n +1 x+ x +L+ x + x 1! 2! n! (n + 1)!

Esta última expresión es el desarrollo de Mac-Laurin con resto de Lagrange. Ejemplo: Calcular el polinomio de Taylor de grado 2 para la función f ( x ) = xsinx en el punto x=0 Solución: La expresión del polinomio de Taylor de grado 2 para f(x) en el punto x=0 viene dado por

f ' (0) f ' ' (0) ( x − 0) + ( x − 0) 2 . Así si...