Derivadas De Funciones

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD
ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERIA
CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100410 – CÁLCULO DIFERENCIAL


f ' ( x ) = Lim 
∆x → 0


(

1
x + ∆x +


=
x 

)

1
x+

x

=

1
2 x

Lección 29: Derivadas Básicas:
- ) LA DERIVADA DE UNA CONSTANTE

f ' (k ) = 0

El fundamento de la derivación es la ocurrencia de un cambio, cuando se tieneuna constante
no sucede un cambio, luego la derivada en este caso es cero.
TEOREMA:
Sea f(x) = k, siendo k una constante, se dice que la derivada esta
definida de la siguiente manera:

f ' ( x) = 0

Demostración:
Por definición, aplicamos el principio del límite del incremento relativo de la función y así se
busca la derivada de la función propuesta.
f ' ( x) = Lim
∆x →0

f ( x + ∆x) − f ( x)
∆xEntonces: f ' ( x ) = Lim

∆x → 0

f ( x + ∆x ) − f ( x )
k−k
0
= Lim
= Lim
=0
∆x → 0 ∆ x
∆x → 0 ∆ x
∆x

Ejemplo No 82:
Sea la función f(x) = 4. Hallar f’(x).
Solución:
Por la definición:
f ' ( x) = Lim
∆x →0

f ( x + ∆x) − f ( x)
4−4
0
= Lim
= Lim
=0
∆x → 0 ∆x
∆x →0 ∆x
∆x

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Es obvio a que la derivada es cero, ya que la función es una constante.

f '(x) = 1

- ) LA DERIVADA DE UNA VARIABLE

La derivada de la variable, también se le conoce como la derivada de la función identidad, ya
que la función identidad es donde la variable es la misma función.
TEOREMA:
Sea f(x) = x, siendo x una variable, la derivada de f(x) estadefinida por:

f ' ( x) =

dy
=1
dx

Demostración:
Siguiendo con la definición:
f ' ( x) = Lim
∆x →0

f ( x + ∆x) − f ( x)
( x + ∆x) − x
∆x
= Lim
= Lim
=1
∆x →0
∆x →0 ∆x
∆x
∆x

Así queda demostrada la derivada de la función identidad.
Ejemplo No 83:
Sea la función f(v) = v, siendo v la variable, Hallar f’(v).
Solución:
Utilizando la definición:
f ' (v) = Lim
∆v → 0

f (v + ∆v) − f (v)
v + ∆v − v
∆v
=Lim
= Lim
=1
∆v → 0
∆v →0 ∆v
∆v
∆v

Por consiguiente: f’(v) = 1

- ) DERIVADA DE LA POTENCIA

D x ( f ( x )) n = nf ( x ) n −1

Cuando se tiene una función de la forma f(x) = xn, para derivar se hace referencia al desarrollo
de la expansión binomial, por medio de lo cual se puede resolver un producto notable cuando el
exponente es un entero positivo.
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TEOREMA:
Sea f(x) = xn función diferenciable, con n un entero positivo, entonces:

f '( x) =

dy
= nx n −1
dx

Demostración:

(
f (x + ∆x) − f (x)
x + ∆x) − xn
luego f '(x) = Lim
Siguiendo la definición: f ' (x) = Lim
∆x→0
∆x→0
∆x
∆x
n

Desarrollando el producto notable por elbinomio de Newton, tenemos:

n ( n − 1) n − 2
 n
n −1
n
n −1
x ( ∆ x ) 2 + ... + nx (∆ x ) + (∆ x )  − x n
 x + nx ∆ x +
2

f ' ( x ) = Lim
∆x→ 0
∆x
Simplificando:

n ( n − 1) n − 2
 n −1
n −1
n
∆
+
nx
x
x ( ∆ x ) 2 + ... + nx (∆ x ) + (∆ x ) 

2

f ' ( x ) = Lim
∆x→ 0
∆x
Se factoriza ∆x, se obtiene:

n ( n − 1) n − 2

n
n −1 
∆x  nx n −1 +
x ( ∆x ) + ... + nx (∆x ) + (∆x ) 
2

f '( x ) = Lim 
∆x → 0
∆x
Simplificando:

f ' ( x) = Lim(nx n−1 +
∆x→0

n(n − 1) n−2
n
n−1
x (∆x) + ... + nx(∆x ) + (∆x ) )
2

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Desde el segundo término en adelante, aparece el ∆x, luego aplicando límite, se obtiene:

(

)

(

 n (n − 1) n − 2

n
n −1
f ' ( x ) = Lim nx n −1 + Lim 
x ( ∆ x )  + ... + Lim nx (∆ x ) + Lim (∆ x )
∆x → 0
∆x → 0
∆
x
→
0
∆
x
→
0
2



(

)

)

Evaluando el límite:

f ' ( x ) = nx n −1 + 0 + 0 + ... + 0 + 0 = nx n −1
Por consiguiente:

f ' ( x) = nxn−1

Así queda demostrado el teorema.

Ejemplo No 84:
Sea la función: f(x) = x3, Hallar f’(x)
Solución:
n
x + ∆x ) − x n
(
f ' ( x) = Lim

∆x...