Derivadas de orden superior

CAPÍTULO 9

DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

9.1 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR (Área 2)

Al derivar una función cualquiera y = f ( x ) se genera otra función y' = g ( x ) , como por ejemplo en elcaso de que y = x2, al derivarla se obtiene la nueva función y’ = 2x que se llama la primera derivada. De hecho, todo el trabajo realizado hasta este momento en el presente curso ha estado encaminado aobtener la primera derivada. Pero la primera derivada se puede volver a derivar, generándose una nueva función llamada ahora la segunda derivada; y si ésta última se vuelve a derivar, se obtiene latercera derivada, y así sucesivamente. Es decir, la segunda derivada resulta de derivar la primera derivada, que en simbología matemática puede escribirse como

d ⎛ dy ⎞ ⎜ ⎟ dx ⎝ dx ⎠
Para abreviar lasimbología anterior, la segunda derivada se escribe como

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Derivadas de orden superior

d ⎛ dy ⎞ d 2 y ⎜ ⎟= dx ⎝ dx ⎠ dx 2
La segunda derivada es la derivada de la derivada, no laderivada por la derivada. Son cosas diferentes. Por ejemplo, si y = x 3 , entonces la primera derivada es

dy = 3 x 2 . En la sidx

guiente tabla se muestra la diferencia entre lo que resulta de laderivada de la derivada y de la derivada por la derivada:

Derivada de la derivada: Derivada por derivada:

d 3x 2 = 6 x dx

( 3x )( 3x ) = 9 x
2 2

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Todo lo antes dicho es aplicable para latercera derivada, la cuarta derivada, etc.

Ejemplo 1: Obtener la segunda derivada de la función y = 5 x 2 − 7 x + 13 .

Solución:

La primera derivada es

dy = 10 x − 7 dx

La segundaderivada se obtiene derivando la primera derivada, es decir

d ⎛ dy ⎞ d 2 y d = (10 x − 7 ) ⎜ ⎟= 2 dx ⎝ dx ⎠ dx dx

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Derivadas de orden superior

d2y = 10 dx 2

Ejemplo 2: Calcular la terceraderivada de la función y = sen 6 x .

Solución:

dy = 6 cos 6 x dx

(Primera derivada)

d2y = − 36 sen 6 x dx 2

(Segunda derivada)

d3y = − 216 cos 6 x dx 3

(Tercera derivada)...