Derivadas de orden superior

Ejemplos de derivadas de orden superior:
1. Sea fx=4x2-5x+8-3x.encontrar la primeras cuatro derivadas de f(x).
Solución : Como fx=4x2- 5x+8-3x-1.f'(x)=8x-5+3x-2 =8x-5+3x2
f''(x)=8x-6x-3=8-6x3
f'''x=18x-4=18x4
f4x= -72x-5=-72x5
2. Hallar y'' para y4+3y-4x3=5x+1.
Solución: y'=12x2+54y3+3 .
Por lotanto, y''=Dxy'=Dx(12x2+54y3+3).
Ahora derivamos implícitamente empleando la regla de la cadena del coc4y{3 +3)iente como sigue:y''=4y3+3Dx12x2+5-12x2+5Dx(4y3+3)4y3+32
=4y3+324x-12x2+5(12y2y')(4y3+3)^2
Sustituyendo y' obtenemos
y''=4y3-324x-(12y2+5)12y2 (12x2+54y3+3)4y3+32
=4y3+324x-12y212x2+524y3+33

Ejemplos defunciones hiperbólicas:
1. Demostrar: cosh2u-senh2u=1.
cosh2u-senh2=eu+e-u22-eu-e-u22=14e2u+2+e-2u-14e2u-2+e-2u=1
2. Derivar: ddxsenh u=cosh u dudx,siendo u una función derivable de x.

ddxsenh u=ddxeu-e-u2=eu+e-u2dudx=cosh u dudx

Ejemplos del Teorema de Rolle y Teorema del Valor Medio
1. Sea fx=4x2-20x+29.Demostrar que f satisface las hipótesis del teorema del Rolle en el intervalo [1, 4] y encontrar todos los números reales c en el intervalo abierto (1, 4) tales quef'c=0.
Solución: como f es un polinomio, es también una función continua y derivable para todo x. En particular, es continua en [1, 4] y derivable en (1, 4).Además,
f1=4-20+29=13
f4=64-80+29=13
Y por lo tanto, f 1=f (4). Entonces f satisface las hipótesis del teorema de Rolle en [1, 4].
Derivando,
f'x=8x-20.Resolviendo f'x=0 obtenemos 8x =20 o bien x=52. Por lo tanto,
f'52=0 Y 1<52<4.
Como f'52=0 , la recta tangente en el vértice (52,4)es horizontal.