Derivadas de ordenes superiores

Derivada de órdenes superiores

La derivada de segundo orden o derivada segunda de una función [pic] es la derivada de la derivada de primer orden, es decir:

[pic]ó [pic]

Si [pic] es la ley del movimiento rectilíneo de un cuerpo, entonces [pic] es la aceleración que tiene el cuerpo.

En general, la derivada de ordenn-ésimo de la función [pic] es:

[pic]

Fórmula de Leibnitz

Si las funciones [pic] y [pic]tienen derivadas hasta de orden n-ésimo inclusive, para calcular la derivadan-ésima del producto de estas funciones puede emplearse la fórmula de Leibnitz:

[pic]

[pic]
Donde [pic], además como ya definimos en la parte superior, los exponentesentre paréntesis indican derivadas de orden superior.

La fórmula de Leibnitz es de utilidad en estos casos, porque bastará encontrar por separado fórmulas n-ésimas dederivación para u y v con la finalidad de reemplazarlas después en (*) para el orden requerido ((n-k) para u, y (k) para v ).

Ejemplos
a) Calcular la n-ésima derivada de [pic]Solución
Derivamos algunas veces para obtener una fórmula recursiva:

[pic]

[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
.
.
.
.
[pic]

b) Calcular la n-ésimaderivada de [pic]
Solución
Primero descomponemos la función dada y en fracciones parciales:
[pic]

[pic]

[pic]

[pic] [pic]
Luego, y es equivalente a[pic]

Ahora derivamos algunas veces para obtener una fórmula recursiva:

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]
.
.
.
.
[pic]

c) Calcular la derivada n-ésima de[pic]
Solución
Aplicamos la fórmula de Leibnitz y usamos los resultados que hemos obtenido en (a) y (b).
Así:

[pic]

[pic]

Luego:
[pic]

[pic]

[pic]
(Fin)