Derivadas Direccionales

ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DE CHIMBORAZO







DERIVADAS DIRECCIONALES


CARLOS LEMACHE



FECHA: 02/06/2015



OBJETIVO GENERAL:
Estudiar las derivadas direccionales
OBJETIVOS ESPECÍFICOS:Exponer lo más importante de las derivadas direccionales con conceptos claros y concisos.
Identificar físicamente las gráficas de las derivadas direccionales e interpretar analíticamente.
Comprendery aplicarlo en los ejercicios propuestos de las derivadas parciales que lo ameriten.

DERIVADA DIRECCIONAL
Consideremos en primer término el caso de una función Z=f(x;y) de dos variablesindependientes.
Hemos definido las derivadas de f(x;y) en un punto (x0;y0) cuando el punto (x;y) tiende a (x0;y0) paralelamente al eje x.



y cuando el punto (x;y) tiende al (x0;y0) paralelamente al eje y:Ahora vamos a definir la derivada de z = f(x;y) en una dirección cualquiera , determinada por sus cosenos directores; cos 1; cos 2.
Si z = f(x;y) es diferenciable en el punto (x0;y0); considerandoun incremento en la dirección de  su incremento parcial, se puede escribir:



donde con Dividiendo por  se tiene:





pero
luego:
en el lím 0:

Cuando 0; x y y 0 por lotanto 0 luego:
en (x0;y0)



Demostraremos que las derivadas parciales de f(x;y) respecto de x e y son casos particulares de las derivadas direccionales. En efecto si 1 =0 será luego:Haciendo será 2=0 luego:


Para n variables: y= f (x1; x2; ......; xn)





INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA DIFERENCIAL TOTAL PLANO TANGENTE

Si en lugar de considerar la diferencial de lafunción consideramos la siguiente expresión:



obtenemos la ecuación de un plano llamado plano tangente a la superficie en x0;y0.
de dicho plano difieren de las de la superficie en un infinitésimo deorden superior a
Geométricamente se caracteriza por el hecho que en el entorno de (x0;y0) las ordenadas de z .
Es muy importante que quede claramente establecido lo siguiente:
1 La condición...