Derivadas Ejemplos

Derivadas de funciones compuestas. Regla de la cadena.

Ejercicios resueltos del libro de Laboratorio de Matemática Superior.

Ejercicio 14 pag. 173

x² + y²
Dada z = edonde x = a cos t y = a sen t Hallar: dz
.dtOJO. En este caso “a” no es una variable, es una constante.

Primer paso: Hacer el árbol de dependencia.

X t .
Z
Y t

En el texto se hace uniendo last ; pero es lo mismo

X t .
Z
Y
Es decir que z depende de dos variables que son x,y , por lo tanto la notación a emplear es (∂)de derivada parcial; pero x,y dependen solo de (t) por eso la notación en este caso es de derivada ordinaria (d)
Hay dos caminos para llegar a t, por lo tanto tienen que haber 2 sumandos.

dz =∂z . dx + ∂z + dy
dx ∂x dt ∂y dt

x²+y² x²+y²
dz = e (x² +y²)` . (-a sen t) + e (x² +y²)` . acos t
dx

x²+y² x²+y²
dz = -2xa sen t e + 2ya cos t e sacando factor común:
dx


x²+y²dz = 2ae (y cos t -x sen t)
dx




Ejercicio 15 pag. 173
x
Dada z = ln (x² - y²),donde y = e

Hallar: ∂z ; dz
∂x dx

Hacemos el árbol.

x
z
y x
Es decir para llegar a calcular dz hay dos caminos, por lo tanto hay dossumandos.
.d x
Sin embargo para calcular ∂z
∂x solo es derivar en z respecto a la variable “x”

.∂z = (x²...