Derivadas Parciales (Ejemplos)

Ejemplos

El volumen de un cono depende de la altura (h) y el radio (r)
* Considera el volumen V de un cono; Éste depende de la altura h del cono y su radio r de acuerdo con la fórmula

Lasderivadas parciales de V respecto a r y h son:

* Otro ejemplo, dada la función tal que:

la derivada parcial de F respecto de x es:

mientras que con respecto de y es:

[editar]Definición formal
Como las derivadas en una variable, las derivadas parciales están definidas como el límite. Donde U es un subconjunto abierto de Rn y f : U → R una función. Definimos derivada parcial de fen el punto a = (a1,..., an) ∈ U con respecto a la i-ésima variable xi como:

O visto respecto a la derivada direccional:

donde es el vector unitario del eje respecto al que se deriva (xi).||left}} Incluso si todas las derivadas parciales existen en el punto a, la función no necesariamente es continua en ese punto. Sin embargo, si todas las derivadas parciales existen alrededor de a y soncontinuas, entonces la función no sólo es continua sino además diferenciable cerca de a. En este caso, f es una función C1.
[editar] Notación
Para el siguiente ejemplo, f será una función de x e y.* Derivadas parciales de primer orden:

Derivadas parciales (dobles) de segundo orden:

Derivadas cruzadas de segundo orden:

[editar] Termodinámica
En termodinámica y otras áreas de lafísica se emplea la siguiente notación:

Que significa que y entonces:

Esta notación se usa porque frecuentemente una magnitud puede expresarse como función de diferentes variables por lo que engeneral:

Ya que la forma precisa de las funciones y es diferente, es decir, se trata de funciones diferentes.
[editar] Derivadas parciales de orden superior
A su vez, la derivada parcial puedeverse como otra función definida en U y derivarse parcialmente. Si todas sus derivadas parciales existen y son continuas, llamamos a f una función C2; en este caso, las derivadas parciales (llamadas...