Derivadas parciales

APLICACIONES DE DERIVADAS PARCIALES

PRODUCTIVIDAD MARGINAL

La productividad de cierto artículo que fabrica una empresa se ve afectada principalmente por dos factores: el monto del capitalinvertido en la planta productiva y la mano de obra empleada en la fabricación del artículo.

Sean: Q la producción total del artículo (número de unidades/unidad de tiempo).
K el monto del capitalinvertido en la planta productiva ($).
L el número de unidades de mano de obra (en horas-hombre o en $ por salarios pagados).

Se establece entonces una función de dos variables: Q(K, L), llamadafunción de producción, donde K y L son los insumos de producción, como por ejemplo:

Productividad marginal del capital: Es la derivada parcial de Q con respecto a K, es decir , y significa elincremento en la producción debido al incremento de una unidad de capital invertido en la planta productiva, manteniendo fija la inversión en mano de obra.
Productividad marginal de la mano de obra: Es laderivada parcial de Q con respecto a L, , y significa el incremento en la producción debido al incremento de una unidad de mano de obra, manteniendo fija la inversión del capital de la plantaproductiva.

Ejemplo: Para la función , calcular las productividades marginales del capital y de la mano de obra para L = 3 y K = 5.

Solución: unidades / unidad adicional de capital.
unidades /unidad adicional de mano de obra.

Función de producción de Cobb Douglass: Es una función de la forma , donde a, b y c son constantes positivas y se cumple que: .

Ejemplo: , calcular lasproductividades marginales del capital y de la mano de obra para L = 35 y K =220.

Solución:
unidades/unidad adic. de cap.
unidades/unid. adc. de m.o.

DEMANDAS MARGINALES

Ciertos productos enel mercado se relacionan entre sí, de tal manera que al variar el precio de uno de ellos se afecta la demanda del otro.
Sean , los precios unitarios de los artículos y , sus demandas...