Derivadas Parciales

CAPÍTULO II
DERIVADAS PARCIALES

En aplicaciones de funciones de varias variables, cabe preguntarse cómo afectará a la función la variación de una o más de sus variables independientes. Un ejemplo puede ser aplicado a nuestra carrera, la distribución de calor en una barra metálica a la que se le aplica una fuente de calor en un instante t =0 y luego seretira. La temperatura dependerá del punto de la barra donde efectuemos la medición (más cerca de los extremos o del centro), como así también del tiempo en que se hace esta medición. Este es un ejemplo de una función que depende de dos variables independientes, las llamamos espacio y tiempo. Si queremos en nuestro ejemplo observar, qué temperatura adquiere cada punto, dejamos fijo el tiempo, porejemplo, a los 2 minutos medimos la temperatura en cada punto, si lo que queremos observar es como varía la temperatura en un punto, fijamos este punto que podrá ser un extremo de la barra y hacemos las mediciones para distintos tiempos, cabe esperar que su temperatura vaya aumentando, conforme el calor fluya hacia los extremos. Este procedimiento de determinar la variación de la función conrespecto a una de sus variables, manteniendo la otra constante (fija en un determinado valor) es lo que conocemos como derivación parcial.


DEFINICIÓN

Hemos visto que la derivada es el límite de un cociente incremental, cuando este existe.
En el caso de funciones de dos variables, podemos incrementar una sola de las variables independientes y mantener constante la otra ( derivadas parciales), o ambas a la vez ( derivada direccional)
Veremos primero derivadas parciales.

Derivada parcial respecto de x:

Dada una función z = f(x,y) , vamos a incrementar solamente la variable x, y mantenemos constante la variable y.
Para armar el cociente incrementamos la función con respecto a x, llamamos (x,y) al punto sin incrementar , y ( x + Δx , y) al punto incrementado



Si estelímite existe lo llamamos derivada parcial respecto de x, la notación para derivadas parciales, utiliza el operador derivada parcial
Notación para derivadas parciales primeras respecto de x:
fx(x,y) = zx = =

Si queremos calcular la derivada en un punto, llamamos: (a, b) punto sin incrementar(x, b) al punto incrementado
=


Derivada parcial respecto de y:

Dada una función z = f(x,y) , vamos a incrementar solamente la variable y, y mantenemos constante la variable x.
Para armar el cociente incrementamos la función con respecto a y, llamamos (x,y) al punto sin incrementar , ( x , y + Δy) al punto incrementado


Si este límite existe lo llamamos derivada parcialrespecto de x, la notación para derivadas parciales, utiliza el operador derivada parcial
Notación para derivadas parciales primeras respecto de y:
fy(x,y) = zy = =
Si queremos calcular la derivada en un punto, llamamos: (a, b) punto sin incrementar
(a, y) al punto incrementado
=FORMA DE CÁLCULO

Ejemplo 1: Calcular la función derivada respecto de la variable x y de la variable y de función
f(x,y) = x.y – y2 aplicando la definición.

1) Incrementamos x manteniendo y constante.

=

2) Incrementamos y manteniendo x constante.

=



=



Ejemplo 2: Calcular aplicando la definición las derivadas parciales de la función f(x,y) = 3x2y -2y
En elpunto (-1,2)

1) Derivada parcial respecto de x: Punto incrementado (x,2) punto sin incrementar (-1,2)



=

2) Derivada parcial respecto de y: Punto incrementado (-1,y) punto sin incrementar (-1,2)




Ejemplo 3:
Sea calcular las derivadas parciales en el punto (0,0)

1) Derivada parcial respecto de x: Punto incrementado (x,0) punto sin incrementar (0,0)...