Derivadas Parciales

FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS DE LA INGENIERÍA
Ingeriería Técnica Industrial. Especialidad en Mecánica.
Boletin 6. Funciones de Varias Variables Curso 2003-2004

EJERCICIOS RESUELTOS
1. En cada apartado, calcular el límite y discutir la continuidad de la función de la que se calcula el límite ¡ ¢ x+y x √ (a) lim (c) lim x + 3y 2 (b) lim x+y (x,y)→(2,1) (x,y)→(2,4) x − y (x,y)→(1,1) ³ ´ arcsen x yy sen xy (f) lim (d) lim exy (e) lim 1 + xy (x,y)→(0,1) (x,y)→(0,0) (x,y)→( π ,2) 4 Solución: Todas las funciones que aparecen en cada uno de los apartados de este ejercicio son continuas en sus respectivos dominios de definición por ser composición, suma, producto y/o cociente de funciones continuas. Así, el cálculo de todos los límites se realiza por simple sustitución, ya que el punto dondedeben ser calculado dichos límites siempre pertenece al dominio de la función. (a) (b)
(x,y)→(2,1)

lim

x + 3y 2 = 2 + 3 · 12 = 5

Dominio: R2 .

2+4 x+y = = −3 Dominio: D = {(x, y) ∈ R2 : x 6= y}. 2−4 (x,y)→(2,4) x − y x 1 √ (c) lim Dominio: D = {(x, y) ∈ R2 : x + y > 0}. =√ x+y (x,y)→(1,1) 2 arcsen(x/y) (d) lim =0 Dominio: D = {(x, y) ∈ R2 : y 6= 0, |x/y| ≤ 1, 1 + xy 6= 0}. (x,y)→(0,1) 1 +xy lim (e) (f)
(x,y)→(π/4,2) (x,y)→(0,0)

lim

y sen xy = 2 sen π/2 = 2 Dominio: R2 .

Dominio: R2 .

lim

exy = 1

2. Calcular las derivadas parciales primeras y segundas de las siguientes funciones: (a) z = tg(2x − y) xy (d) w = x+y+z Solución: (b) z = xe y (c) z = x ln(xy) 1 (f) w = ln(xyz 2 ) (e)w = p 1 − x2 − y 2 − z 2
x

(a) z = tg(2x − y). Las derivadas parciales de zdespués de simplificar y factorizar quedan de la siguiente forma. Se ha utilizado que (sec x)0 = sec x tg x. Derivadas parciales de primer orden: ∂z ∂z = 2 sec2 (2x − y) = − sec2 (2x − y) ∂x ∂y Derivadas parciales de segundo orden: ∂2z ∂2z = 8 sec2 (2x − y) tg(2x − y) = 2 sec2 (2x − y) tg(2x − y) ∂x2 ∂y 2 ∂2z ∂2z = = −4 sec2 (2x − y) tg(2x − y) ∂x∂y ∂y∂x (b) z = xe y Derivadas parciales de primer orden:¶ µ x x 1 x ∂z x y + xe y y 1+ =1·e =e ∂x y y
x

x ∂z = xe y ∂y

µ

−x y2

¶

=−

x2 x ey y2

1

Boletín 6. Ejercicios Resueltos. Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería Mecánica. Curso 2003-04

2

(c) z = x ln(xy) = x (ln x + ln y) = x ln x + x ln y Derivadas parciales de primer orden: ∂z 1 ∂z x = ln x + x + ln y = 1 + ln x + ln y = ∂x x ∂y y Derivadas parciales de segundoorden: 1 ∂2z ∂2z ∂2z 1 ∂2z −x = = 2 = = 2 2 ∂x x ∂y y ∂x∂y ∂y∂x y xy (d) w = . Las derivadas parciales de w después de simplificar y factorizar quedan de la siguiente x+y+z forma. Derivadas parciales de primer orden: y+z x+z y ∂w ∂w ∂w =y =x = −x 2 2 ∂x ∂y ∂z (x + y + z) (x + y + z) (x + y + z)2 Derivadas parciales de segundo orden: ∂2w ∂2w y+z ∂2w x+z y = −2y = = −2x = 2x 3 3 3 ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 (x + y+ z) (x + y + z) (x + y + z) ∂2w 2xy + xz + yz + z 2 ∂2w x−y−z ∂2w ∂2w = = = =y 3 3 ∂x∂y ∂y∂x ∂x∂z ∂z∂x (x + y + z) (x + y + z) ∂2w x−y+z ∂2w = = −x 3 ∂y∂z ∂z∂y (x + y + z) ¢−1/2 ¡ 1 (e) w = p = 1 − x2 − y 2 − z 2 . 1 − x2 − y 2 − z 2 Derivadas parciales de primer orden: ¢−3/2 ¢−3/2 ¡ x ∂w −1 ¡ 1 − x2 − y 2 − z 2 (−2x) = x 1 − x2 − y 2 − z 2 =q = ∂x 2 3 (1 − x2 − y 2 − z 2 ) ¢−3/2 ¢−3/2 ¡ ∂w y −1¡ 1 − x2 − y 2 − z 2 (−2y) = y 1 − x2 − y 2 − z 2 =q = ∂y 2 (1 − x2 − y 2 − z 2 )3 ¢−3/2 ¢−3/2 ¡ z ∂w −1 ¡ 1 − x2 − y 2 − z 2 (−2z) = z 1 − x2 − y 2 − z 2 =q = ∂z 2 (1 − x2 − y 2 − z 2 )3 Derivadas parciales de segundo orden: ¶ µ ¢ ¢−5/2 2x2 + 1 − y 2 − z 2 ∂2w ¡ −3 ¡ 2 2 2 −3/2 1 − x2 − y 2 − z 2 = 1−x −y −z +x (−2x) = q ∂x2 2 5 (1 − x2 − y 2 − z 2 ) ¶ µ ¢−3/2 ¢−5/2 ¡ ∂2w 2y 2 + 1 − x2 − z 2 −3¡ 1 − x2 − y 2 − z 2 = 1 − x2 − y 2 − z 2 +y (−2y) = q ∂y 2 2 (1 − x2 − y 2 − z 2 )5 ¶ µ ¢−3/2 ¢−5/2 2z 2 + 1 − x2 − y 2 ∂2w ¡ −3 ¡ 1 − x2 − y 2 − z 2 = 1 − x2 − y 2 − z 2 +z (−2z) = q ∂z 2 2 (1 − x2 − y 2 − z 2 )5 ∂2w 3xy ∂2w = =q ∂x∂y ∂y∂x 5 (1 − x2 − y 2 − z 2 ) ∂2w 3xz ∂2w = =q ∂x∂z ∂z∂x 5 (1 − x2 − y 2 − z 2 )

Derivadas parciales de segundo orden: µ ¶ ¶ µ ¶ ¶ µ µ 2¶ µ x 1 x 1 x x ∂2z x...