Derivadas Parciales

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I CAPÍTULO 7 i Cálculo de varias variables

- 7-18

!

•

E J E M P L O I 7.2.3
Encuentre las derivadas parciales f y f sif(x, y) =
x

xe~

y

2xy

Solución

De la regla del producto,
f¿x, y) = x(-2ye~ )
Zry

+ e' ^

= (-2xy +

2

l)e~

Zxy

y de la regla del factor constante,
Ux, y) = x{-2xe-^)

Interpretación
geométrica de
las derivadas
parciales

=

-2¿é*

m

Recuerde, de la sección 7.1,que las funciones de dos variables se pueden representar
gráficamente como superficies trazadas en un sistema de coordenadas tridimensional.
En particular, si z = f(x, y), se puede identificar un par ordenado (x, y) en el dominio de
/con un punto en el plano xy, y el correspondiente valor de la función z = f(x, y) se puede
considerar como la "altura" asignada a este punto. La gráfica de/es lasuperficie formada
por todos los puntos (x, y, z) del espacio tridimensional cuya altura z es igual a/(jc, y).
Las derivadas parciales de una función de dos variables se pueden interpretar geométricamente como sigue. Para cada número fijo y , los puntos {x, y , z) forman un plano
vertical cuya ecuación es y = y . Si z = f{x, y) y si y se mantiene fija en y = y , entonces los puntos correspondientes(x, yo,f(x, y )) forman una curva en un espacio tridimensional, que es la intersección de la superficie z = f(x, y) con el plano y = y . En cada
dz
punto sobre esta curva, la derivada parcial — es simplemente la pendiente de la
dx
recta del plano y = y ° i
tangente a la curva en el punto en cuestión. Esto es,
dz
— es la pendiente de la recta tangente "en la dirección x." La situación se ilustraen
dx
la figura 7.10a.
0

0

0

0

0

0

0

Uo-

u e

e s

-o)
Plano y = y

Superficie

0

Superficie z =/(.r, y)
Curva

z=/frtfPlano x = x.

)-())

Curva
z=fQ< ,y)
0

pendiente en la dirección x

—- = pendiente en la dirección v
dy

b)

a)

F I G U R A 7.10

Interpretación geométrica de las derivadas parciales.

Análogamente, si .Y se mantiene fija en x = x , los puntos correspondientes (.v ,
y,f(x , y)) forman una curva que es la intersección de la superficie z = f(x, y) con
dz
el plano vertical x = x . En cada punto sobre esta curva, la derivada parcial — es la
dy
0

0

0

0

I S E C C I Ó N 7.2 I Derivadas parciales

-19

I 513

dz
pendiente de la recta tangente en el plano x = x . Esto es, — es la pendiente de la recdy
ta tangente "en la dirección y." La situación se ilustra en lafigura 7.10b.
0

Análisis marginal

En economía, el término análisis marginal se refiere a la práctica de usar una derivada
para calcular el cambio que ocurre en el valor de una función como resultado del aumento en una unidad de una de sus variables. En la sección 2.5 se vieron algunos ejemplos de análisis marginal, en donde aparecían derivadas ordinarias de funciones de una
variable. Acontinuación veamos un ejemplo de la forma en que las derivadas parciales
se pueden usar de una manera semejante.
E J E M P L O I 7.2.4

"

Se estima que la producción semanal de cierta planta está dada por la función Q(x, y) =
1 200x + 500y + x y — x — y unidades, donde x es el número de trabajadores calificados y y el de trabajadores no calificados que se emplean en la planta. Actualmente, la
fuerzalaboral está formada por 30 trabajadores calificados y 60 no calificados. Utilice
análisis marginal para estimar el cambio en la producción semanal que resultará de la
adición de 1 trabajador calificado más, si el número de trabajadores no calificados no
cambia.
2

3

2

Solución

La derivada parcial
Q (x, y) = 1 200 + 2xy - 3x
x

2

es la razón de cambio de la producción con respecto al número detrabajadores calificados. Para cualesquiera valores de x y y, ésta es una aproximación del número de unidades adicionales que se producirán cada semana si el número de trabajadores calificados
se aumenta de x ax + 1, mientras que el número de trabajadores no calificados se mantiene fijo en y. En particular, si la fuerza laboral se aumenta de 30 trabajadores calificados y 60 no calificados a 31...