derivadas por limites

Páginas: 6 (1319 palabras) Publicado: 8 de julio de 2014
Definir derivada por límite.
En terminología clásica, la diferenciación manifiesta el coeficiente en que una cantidad cambia a consecuencia de un cambio en otra cantidad.
En matemáticas, coeficiente es un factor multiplicativo que pertenece a cierto objeto como una variable, un vector unitario, una función base, etc.
En física, coeficiente es una expresión numérica que mediante alguna fórmuladetermina las características o propiedades de un cuerpo.
En nuestro caso, observando la gráfica de la derecha, el coeficiente del que hablamos vendría representado en el punto de la función por el resultado de la división representada por la relación, que como puede comprobarse en la gráfica, es un valor que se mantiene constante a lo largo de la línea recta azul que representa la tangente enel punto de la función. Esto es fácil de entender puesto que el tríangulo rectángulo formado en la gráfica con vértice en el punto, por mucho que lo dibujemos más grande, al ser una figura proporcional el resultado de es siempre el mismo.
Esta noción constituye la aproximación más veloz a la derivada, puesto que el acercamiento a la pendiente de la recta tangente es tanto por la derecha como porla izquierda de manera simultánea.
En particular, se tiene que la derivada de la función en el punto se define como sigue:

,
Si este límite existe, de lo contrario, f' no está definida. Esta última expresión coincide con la velocidad instantánea del movimiento continuo uniforme acelerado en cinemática.
Aunque podrían calcularse todas las derivadas empleando la definición de derivada como unlímite, existen reglas bien establecidas, conocidas como teoremas para el cálculo de derivadas, las cuales permiten calcular la derivada de muchas funciones de acuerdo a su forma sin tener que calcular forzosamente el límite. Tales reglas son consecuencia directa de la definición de derivada y de reglas previas, como puede apreciarse en todo buen texto de cálculo infinitesimal.
También puededefinirse alternativamente la derivada de una función en cualquier punto de su dominio de la siguiente manera:
,
La cual representa un acercamiento de la pendiente de la secante a la pendiente de la tangente ya sea por la derecha o por la izquierda según el signo de . El aspecto de este límite está relacionado más con la velocidad instantánea del movimiento uniformemente acelerado que con la pendientede la recta tangente a una curva.
No obstante su aparente diferencia, el cálculo de la derivada por definición con cualquiera de los límites anteriormente expresados, proporciona siempre el mismo resultado.
El conocimiento de todas las expresiones anteriores y su significado representan el acercamiento epistémico más completo posible en torno a la definición de derivada, y con ello, al aspectoesencial del cálculo diferencial.

Calculo de derivada por límite.
La derivada de una función f(x) en un punto x = a es el valor del límite, si existe, del cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero.




Ejemplos
Calcular la derivada de la función f(x) = 3x2 en el punto x = 2.



Hallar la derivada de la función f(x) = x2 + 4x − 5 en x = 1Calcular la derivada de en x = −5.





Hallar la derivada de en x = 1.




Determinar la derivada de en x = 2.



Interpreta geométricamente la descripción de la derivada
Supongamos que tenemos una función y la llamamos. La derivada de es otra función que llamaremos.
Representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de en el punto.
En términos geométricos, esta pendiente es«la inclinación» de la línea recta que pasa justo por encima del punto y que es tangente a la gráfica de .
Al identificar dos puntos muy cercanos en la gráfica y al unirlos mediante una línea recta, una pendiente queda visualizada. Cuanto más cercanos sean los dos puntos que se unen por medio de la recta, la recta se parece más a una recta tangente a la gráfica y su pendiente se parece más a...
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