Derivadas e integrales

Derivadas e Integrales
Las derivadas y las integrales como herramientas fundamentales del cálculo, nos permite modelar todos los aspectos de la naturaleza en las ciencias físicas.

La derivada de una función, se puede interpretar geométricamente como la pendiente de la curva de la función matemática f(x) trazada en función de x. Pero su implicación para modelar la naturaleza tiene una mayorprofundidad de lo que pueda suponer esta simple aplicación geométrica. Después de todo nos podemos contemplar dibujando triángulos finitos para descubrir la pendiente, de modo que ¿por qué es tan importante la derivada?. Su importancia radica en el hecho de que muchas entidades físicas tales como la velocidad, la aceleración, la fuerza y así sucesivamente, se definen como la tasa instantánea decambio de alguna otra cantidad. La derivada nos puede dar un valor instantáneo preciso de la tasa de cambio y nos conduce a modelar de forma precisa la cantidad deseada.
La integral de una función se puede interpretar geométricamente como el área bajo la curva de una función matemática f(x) trazada como una función de x. Nos podemos contemplar dibujando una gran número de bloques, para aproximarnosal área bajo una curva compleja, obteniendo una mejor respuesta dibujando un mayor número de bloques. La integral nos proporciona una manera matemática de dibujar un número infinito de bloques y conseguir una expresión analítica precisa del área bajo la curva. Esto es muy importante en la Geometría y profundamente importante en las ciencias físicas, donde las definiciones de muchas entidadesfísicas se pueden convertir en la forma matemática de un área bajo una curva. El área de un pequeño bloque bajo la curva, se puede considerar que es el producto del ancho del bloque multiplicado por la altura ponderada del bloque. Muchas propiedades de cuerpos continuos, depende de sumas ponderadas, que para ser exactas deben ser infinitas sumas ponderadas, lo cual constituye un problema hecho a medidapara resolverse por la integral. Por ejemplo, para encontrar el centro de masa de un cuerpo continuo, se implica la ponderación de cada elemento de masa multiplicado por su distancia a un eje de rotación, un proceso para el cual si se quiere conseguir un valor preciso, se requiere a la integral. Un gran número de problemas físicos implican para sus soluciones a tales sumas infinitas, por lo que laintegral es una herramienta esencial para el científico físico.



Teoría


se interpreta como el área bajo la curva de f, entre a y b.
Dada una función  de una variable real  y un intervalo  de la recta real, la integral

es igual al área de la región del plano  limitada entre la gráfica de , el eje , y las líneas verticales  y , donde son negativas las áreas por debajo del eje .
Lapalabra "integral" también puede hacer referencia a la noción de primitiva: una función F, cuya derivada es la función dada . En este caso se denomina integral indefinida, mientras que las integrales tratadas en este artículo son las integrales definidas. Algunos autores mantienen una distinción entre integrales primitivas e indefinidas.
Los principios de la integración fueron formuladospor Newton y Leibniz a finales del siglo XVII. A través del teorema fundamental del cálculo, que desarrollaron los dos de forma independiente, la integración se conecta con la derivación, y la integral definida de una función se puede calcular fácilmente una vez se conoce una antiderivada. Las integrales y las derivadas pasaron a ser herramientas básicas del cálculo, con numerosas aplicaciones en ciencia eingeniería.
Bernhard Riemann dio una definición rigurosa de la integral. Se basa en un límite que aproxima el área de una región curvilínea a base de partirla en pequeños trozos verticales. A comienzos del siglo XIX, empezaron a aparecer nociones más sofisticadas de la integral, donde se han generalizado los tipos de las funciones y los dominios sobre los cuales se hace la integración....