DERIVADAS Y APLICACIONES

UNIVERSIDAD RICARDO PALMA
FACULTAD DE INGENIERIA
GUIA DE PROBLEMAS CALCULO II FUNCIONES EN VARIAS VARIABLES
1. Hallar el dominio y gráfica de la función: f (x, y) x2y
yx

2



x 1

1 x 2  y 2

2.

3.

4. Analizar la continuidad de la siguiente función, justificando su respuesta:
 x3 y
 x,
(x,y)  (0,0)

G ( x, y )  x 4  y 2

0 ,
(x,y)  (0,0)

5.

6.

7.

8.

9.

10.
11.

Si z  y y / x .sen

y
z
z
, averiguar si satisface la ecuación: x 2  xy  yz .
x
x
y

12.
Sea lafunción f(x,y,z) que tiene en el punto (2,-3,5) las derivadas direccionales que
están en 1/3 en la dirección al punto (0,1,9) ; -3/5 en la dirección al punto (5,-3,1)y ¼ en
la dirección al punto (4,-2,7). Calcular la derivada direccional de f en la dirección al
punto (1,3,6).
13.

Determinar la ecuación del plano tangente a laelipsoide x 2  2 y 2  z 2  1 , de tal

manera que sea paralelo al plano x - y + 2z = 0.
Hallar los extremos absolutos de la función f ( x, y )  4 x 2 y  x 3 y  x 2y 2 , en el
dominio limitado por las rectas x = 0, y = 0, x + y – 6 = 0.

14.

15.
“El tiempo que demanda cavar un túnel es proporcional al cuadrado de la
longituddel túnel”. Tres máquinas ubicados en los puntos:A(-1,1),B(2,1) y C(1,-2)
del borde de una montaña, deben cavar túneles rectos hasta encontrarse los tres en un
punto(x,y), de modo que el número de horas-máquina sea mínimo.

Suponga que la temperatura en un punto (x,y,z) en el espacio está dada por
donde está medida en gradoscentígrados y x,y,z están en metros. ¿En qué
dirección aumenta más rápido la temperatura respecto al punto (1, 1, -2)?
¿Cuál es la máxima tasa de incremento?
16.