Derivadas y sus identidades

Anexo:Derivadas

La operación fundamental en el cálculo diferencial es encontrar una derivada. Esta tabla enlista las derivadas de varias funciones. En lo sucesivo, f y g son funciones de x y c es una constante con respecto a x. Se presupone al conjunto de los números reales. Estas fórmulas son suficientes para diferenciar cualquier función elemental.
Contenido
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1 Reglasgenerales de diferenciación
2 Derivadas de funciones simples
3 Derivadas de funciones exponenciales y funciones logarítmicas
4 Derivadas de funciones trigonométricas
5 Derivadas de funciones hiperbólicas
6 Derivadas de funciones especiales
6.1 Función zeta de Riemann
6.2 Derivadas de distribuciones
6.3 Funciones elípticas
7 Derivadas de funcionesdefinidas como integral
8 Referencia
8.1 Bibliografía

[editar] Reglas generales de diferenciación
Artículo principal: Reglas de diferenciación

Linealidad
\left({f + g}\right)' = f' + g'
\left({cf}\right)' = cf'

Regla del producto
\left({fg}\right)' = f'.g + f.g'

Derivada de la función inversa
\left(\frac{1}{f}\right)' = \frac{-f'}{f^2}

Regla delcociente
\left({f \over g}\right)' = {f'.g - f.g' \over g^2}, \qquad g \ne 0

Regla de la cadena
(f \circ g)' = g'(f )f'

[editar] Derivadas de funciones simples

{d \over dx} c = 0

{d \over dx} x = 1

{d \over dx} (cx) = c

{d \over dx} x^c = cx^{c-1} \qquad \mbox{donde } x^c \mbox{ y } cx^{c-1} \mbox { se encuentran definidos}

{d \over dx} (cx^n) =cnx^{n-1}

{d \over dx} |x| = {x \over |x|} = \sgn x,\qquad x \ne 0

{d \over dx} \left({1 \over x}\right) = {d \over dx} \left(x^{-1}\right) = -x^{-2} = -{1 \over x^2}

{d \over dx} \left({1 \over x^c}\right) = {d \over dx} \left(x^{-c}\right) = -cx^{-c-1} = -{c \over x^{c+1}}

{d \over dx}(\sqrt[n]{x}) = { 1 \over n \sqrt[n]{x^{n-1}} }\, \mbox{sea }x > 0

{d \over dx}\sqrt{x} = {d \over dx} x^{1\over 2} = {1 \over 2} x^{-{1\over 2}} = {1 \over 2 \sqrt{x}}, \qquad x > 0

{d \over dx} f(x)^n\ = nf(x)^{n-1} \cdot {d \over dx}f(x)

Derivada de la función inversa
(f^{-1})' =\frac{1}{f' \circ f^{-1}},

para alguna función diferenciable f de un argumento real y con valores reales, cuando las composiciones indicadas e inversas existen.
[editar]Derivadas de funciones exponenciales y funciones logarítmicas
Artículo principal: Derivadas de funciones exponenciales y funciones logarítmicas

{d \over dx} c^x = {c^x \ln c },\qquad c > 0

{d \over dx} e^x = e^x

{d \over dx} \log_c x = {1 \over x \ln c} \qquad, c > 0, c \ne 1

{d \over dx} \ln x = {1 \over x} \qquad, x > 0

{d \over dx} \ln |x| = {1 \over x}

{d\over dx} x^x = x^x(1+\ln x)

(f^g)'=f^g \left( g'\ln f + \frac{g}{f} f' \right)

Derivada de la función potencial exponencial
{d \over dx} f(x)^{g(x)} = f(x)^{g(x)}\left({d \over dx}f(x) \cdot {g(x) \over f(x)} + {d \over dx}g(x) \cdot \ln f(x)\right),\qquad f(x) > 0

[editar] Derivadas de funciones trigonométricas
Artículo principal: Derivación de funciones trigonométricas{d \over dx}\,\operatorname{sen}\,x = \cos x

{d \over dx} \cos x = -\operatorname{sen}\,x

{d \over dx} \tan x = \sec^2 x = { 1 \over \cos^2 x} = 1+ \tan^2x

{d \over dx} \sec x = \sec x \tan x

{d \over dx} \csc x = -\csc x \cot x

{d \over dx} \cot x = -\csc^2 x = { -1 \over \operatorname{sen}^2\,x}



{d \over dx}\,\operatorname{arcsen}\,x = { 1 \over\sqrt{1 - x^2}}

{d \over dx} \arccos x = {-1 \over \sqrt{1 - x^2}}

{d \over dx} \arctan x = { 1 \over 1 + x^2}

{d \over dx} \arcsec x = { 1 \over x\sqrt{x^2 - 1}}

{d \over dx} \arccsc x = {-1 \over x\sqrt{x^2 - 1}}

{d \over dx} \arccot x = {-1 \over 1 + x^2}

[editar] Derivadas de funciones hiperbólicas

{d \over dx}\,\operatorname{senh}\,x = \cosh x =...