Derivadas

INTRODUCCION

En este capítulo del tema de derivadas se dará a conocer como varia el valor de una función al variar la variable independiente.

Gracias al cálculo de derivadas es posible resolver problemas en los que intervengan dos magnitudes y queramos determinar el valor de una de ellas para que la otra alcance un valor máximo o mínimo.

En este tema, además de definir tal concepto, semostrará su significado y se hallarán las derivadas de las funciones más usuales.

DERIVADAS

4.1 CONCEPTOS DE INCREMENTO Y DE RAZÓN DE CAMBIO. LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN.

En cálculo (rama de las matemáticas), la derivada representa cómo una función cambia (valor de la variable dependiente) a medida que su entrada (valor de la variable independiente) cambia. En términos poco rigurosos, unaderivada puede ser vista como cuánto está cambiando el valor de una función en un punto dado (o sea su velocidad de variación); por ejemplo, la derivada de la posición de un vehículo con respecto al tiempo es la velocidad instantánea con la cual el vehículo está viajando.

Derivada de una Función
La derivada d una función es el límite de la razón del incremento de la función al incremento dela variable independiente cuando este tiende a cero.

Cuando el límite de esta razón existe, se dice que la función es derivable o que tiende a derivada.

La definición puede darse mediant símbolos, en la forma siguiente:

Dada la funcion
Y=f(x)

Consideremos un valor inicial fijo de x.
            La derivada de una función f, es una función denotada por[pic]tal que para cualquier x del dominio de f  está dada por:
[pic]
si este límite existe.
            Si [pic]es un número del dominio de f, entonces:
[pic]
si este límite existe.
            El proceso de calcular la derivada de una función se denomina derivación o diferenciación, es decir, la derivación o diferenciación es el proceso mediante el cual se obtiene [pic]a partir de f. Si unafunción tiene derivada en todo su dominio, se dice que es una función diferenciable.
REGLA GENERAL PARA LA DERIVACION
PRIMER PASO.- Se sustituye en la función x por x [pic]x, y se calcula el nuevo valor de la función y+[pic]y.
SEGUNDO PASO.-Se resta el valor de la función del nuevo valor y se obtiene [pic]y (incremento de la función).
TERER PASO.-Se divide [pic]y (incremento de la función) por x(incremento de la variable independiente).
CUARTO PASO.- se calcula el límite e este cociente cuando x (incremento de la variable independiente) tiende a cero. El limite así hallado es la derivada buscada.
Fórmulas de derivación
1.   [pic]
2.    [pic]
3.    [pic]
4.          [pic]
5.     [pic]
6.   [pic]
6a.   [pic]
7.    [pic]
7a.    [pic]
8.    [pic]
9.     [pic]  
 

4.2LA INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA.

Sea f una función derivable en todo su dominio.
En el entorno del punto a podemos aproximar la función por la recta
y(x) = f(a) + f ’(a) (x-a)
esto es, la aproximación f(x)[pic] f(a) + f ‘(a) (x-a) es correcta cuando (x-a) es pequeño.
De forma más precisa podemos decir que la función diferencia f(x) – y(x) es un infinitésimo de orden superior a(x-a):
[pic] =  0
|[pic] |[pic] |
| |[pic] |

Vemos en el dibujo que el valor del cociente incremental [pic]es igual a la pendiente de la secante a la curva que pasa por los puntos (a, f(a)) y (x, f(x)).
En el límite, cuando x tiende a ‘a’, la secantetiende a la tangente a la curva en a y, por tanto, la derivada de la función representa la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto.
La recta tangente es y = f(a) + f'(a) · (x-a).

4.3 CONCEPTO DE DIFERENCIAL, INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LAS DIFERENCIALES

EL CONCEPTO DE DIFERENCIAL

El concepto de diferencial es, sin duda, uno de los conceptos de mayor aplicación dentro...