Derivadas

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EJERCICIOS RESUELTOS DE ANÁLISIS. 2º BACH CIENCIAS

CÁLCULO DE DERIVADAS
1) Calcula la derivada de las siguientes funciones:
a) y = ln 4 − 5x 2x + 3 b) y = senx x2

Solución:
a) y = ln 4 − 5x = ln( 4 − 5x) − ln( 2x + 3) 2x + 3

y' =

−5 2 − 5( 2x + 3) − 2( 4 − 5x) − 23 − = = ( 4 − 5x) · ( 2x + 3) ( 4 − 5x) · ( 2x + 3) 4 − 5x 2x + 3 cos x · x 2 −sen x · 2x cos x · x − 2sen x = x4 x3

b) y' =

2) Calcula la derivada de las siguientes funciones:
a) y = 35x 2x − 1 b) y = 3x · cos x 2 − 1

(

)

Solución:
a) y' = 5 · 35x · ln3 ( 2x − 1) − 2 · 35x

( 2x − 1)

2

=

35x · [ 5( 2x − 1) · ln3 − 2]

( 2x − 1) 2

b) y ' = 3x · ln 3 · cos (x2 − 1) − 3x · sen (x2 − 1) · 2x = = 3x · [ln 3 · cos (x2 − 1) − 2x · sen (x2 − 1)] 3)Calcula la derivada de las siguientes funciones:
a) y = ln 1− e x 1+ ex b) y = 3 cos x 3 − 1

(

)

Solución: a) y = ln (1 − ex) − ln (1 + ex)
y' = − ex ex − e x · (1+ e x ) − e x · (1− e x ) − 2e x − = = x x 1− e 1+ e (1− e x ) · (1+ e x ) 1− e 2x

b) y' =

− sen(x3 − 1 · 3x 2 ) 3 3 cos2 (x3 − 1 )

=

− x 2 · sen(x3 − 1 )
3

cos2 (x3 − 1 )

1

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4) Calcula la derivada de las siguientes funciones:
a) y = 4 · arccos x b) y = log3 x 2 − 4

(

)

Solución:
−4· a) y' = 1 −2 x · 1− x 2 x = 1− x

b) y' =

2x ln3 · x 2 − 4

(

)

5) Calcula la derivada de las siguientes funciones:

( ) a) y = 5 · arctg2x − 1
Solución:
a) y' = 1+ ( 2x − 1) 5· 2
2

b) y = 3x 5 + 2

=

1+ ( 2x − 1)

10

2

b) y' =

3 · 3 x5 + 2

(

5x 4

)

2

6) Aplica la derivación logarítmica para derivar Solución: f (x) = x
cos x

y= x

cos x

ln f (x) = cos x · ln x
f ' ( x) 1 = −sen x · ln x + cos x · f ( x) x
cos x  cos x    f '( x) = f ( x) ·  − sen x · ln x +  = xcos x ·  − sen x · ln x +  x  x   

7) Deriva logarítmicamente lasiguiente función y = (cos x)x Solución: f (x) =(cos x)x ln f (x) = x · ln cos x
2

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f ' ( x) − sen x = lncos x + x · = lncos x − x · tg x f ( x) cos x

f' (x) = f (x) · (ln cos x − x tg x) = (cos x)x · (ln cos x − x tg x) 8) Aplica la derivación logarítmica para derivar y = (x + 1)x 2 Solución: f (x)= (x + 1)x 2 ln f (x) = x2 · ln (x + 1)
f '( x) 1 = 2x · ln( x + 1) + x 2 · f ( x) x +1
2  x2   = ( x + 1) x f '( x) = f ( x) ·  2x · ln( x + 1) +  x + 1  

 x2   ·  2x · ln( x + 1) +  x + 1  

9) Mediante la derivación logarítmica, calcula la derivada de y = (ln x)x. Solución: f (x) = (ln x)x ln f (x) = x · ln (ln x)
1 f '( x) 1 = ln( ln x) + x · x = ln( ln x) + f ( x) lnx ln x
 1   = ( ln x) x f '( x) = f ( x) ·  ln( ln x) +  ln x     1   ·  ln( ln x) +  ln x   

10)Aplica la derivación logarítmica para derivar:
 2 y=   x
x

Solución:
 2 f ( x) =    x
x

 2 → lnf ( x) = x · ln   x

3

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−2 2 f '( x)  2  2 = ln  + x ·x = ln  − 1 2 f ( x)  x  x x   2   2   2  f '( x) = f ( x) ·  ln  − 1 =   ·  ln  − 1       x   x   x 
x

11)Calcula la derivada de la siguiente función implícita: xy − 2x + 3y = 4. Solución: y + xy ' − 2 + 3y ' = 0
y' · ( x + 3) = 2 − y → y' = 2− y x+3

12)Halla la derivada de la siguiente función implícita: x3 + 6xy + y3 = 8. Solución: 3x2 + 6y + 6xy' + 3y2 · y ' = 0 3y ' · (2x + y2) = −3 · (x2 + 2y)
y' = − x2 + 2y 2x + y 2

(

)

13)Dada la función implícita x2 − 3xy − 2y2 = 4, calcula su derivada. Solución: 2x − 3y − 3xy ' − 4yy ' = 0 2x − 3y = y ' · (3x + 4y)
y' = 2x − 3y 3x + 4y

14)Halla y ' sabiendo que: x2 + y2 = x2 · y2. Solución: 2x + 2yy '= 2xy2 + 2x2yy '
4

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