Derivadas

I.T.Telecomunicaciones

Curso 2000/2001

DPTO. MATEMÁTICA APLICADA

Tema 2: Derivación de funciones reales. Aplicaciones
1. Derivada de una función en un punto.
Definición: Sea f : D  →
una función y sea a ∈ D . Llamamos derivada de la función y = f ( x ) en el  punto x = a , y lo representamos por f ′ ( a ) , al valor del siguiente límite (si existe) : f ′ ( a ) = Lim
h→ 0

∆y f (a + h) − f ( a ) f ( a + h) − f ( a ) = Lim = Lim h→ 0 h→ 0 ( a + h) − a h ∆x



Observaciones: a) La derivada de una función en un punto es un número. b) También nos podemos encontrar con la siguiente definición equivalente de derivada : f ′ (a ) = Lim
x→a

f ( x ) − f (a ) x−a



2. Interpretación geométrica. Tangencia.
Consideremos la función y = f ( x ) , tomemos dos puntos A (a, f (a )) y B (a + h , f (a + h)) de dicha función y tracemos la recta s ≡ y = ms x + b que pasa por dichos dos puntos. Mirando el dibujo se observa que : • La recta s es secante a la función y = f ( x ) . • La pendiente de la recta s es : m s = tg α = f (a + h) − f (a ) f ( a + h) − f ( a ) ∆y = = ( a + h) − a h ∆x

Entonces, cuando ∆x = h → 0 , tenemos que el punto B tiende a convertirse enel punto A, y por tanto, la recta secante s tiende a convertirse en la recta tangente a la función y = f ( x ) en el punto A. Es decir : Lim m s = Lim tg α = Lim
h→ 0 h→ 0 h→ 0

f ( a + h) − f ( a ) = f ′ ( a ) = tg β = m r h

Entonces : Lim m s = m r
h→ 0

⇒ Lim tg α = tg β . Con lo que tenemos que la interpretación geométrica
h→0

es la siguiente : La derivada de una función y = f ( x) en un punto x = a , f ′ ( a ) , coincide con la pendiente de la recta tangente a la función en dicho punto, es decir : f ′ (a ) = tg β = m r

Javier Martínez del Castillo

Tema 2

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DPTO. MATEMÁTICA APLICADA Por lo tanto, como sabemos que la ecuación punto-pendiente en un punto ( x 0 , y 0 ) es : y − y 0 = m ( x − x 0 ) , podemosexpresar la ecuación de la recta tangente a la función en el punto x = a como : f ( x ) − f ( a ) = f ′ ( a) ⋅ ( x − a) Es decir : “ La ecuación de la recta tangente a la función y = f ( x ) en un punto x = a , es la recta que pasa por el punto (a , f (a )) y que tiene por pendiente la derivada de la función en el punto x = a ”. Además, f ′ ( a ) mide la “rapidez” de variación de la función, esdecir, la proporción entre lo que varia la variable dependiente (y) y la independiente (x), cerca del punto x = a . Ejemplo 1: Sea y = f ( x ) = x 2 . a) Calcular la pendiente de la recta tangente en el punto x = 3, y escribir la ecuación de la recta tangente en dicho punto. b) Análogo para la recta normal. Observaciones: a) La aplicación del concepto de derivada es muy importante, ya que porejemplo v = dv . dt b) Si f ′ ( a ) existe, entonces diremos que f es derivable en x = a . a= ds dt ó



Definición: Decimos que una función es derivable, si lo es en cada punto de su dominio. Entonces podemos definir la función : f ′ : Df  →
 Esta función recibe el nombre de función derivada, y asocia a cada punto su derivada (un número). Teorema: Consideremos una función f y sea a ∈ D f .Entonces : Si f es derivable en a ⇒ f es continua en a s 

Observación: El recíproco no es cierto. Es decir, el hecho de que una función sea continua en un punto no implica que tenga que ser derivable en dicho punto.   x si x ≥ 0  Ejemplo 2: Sea f ( x ) = x =   . Comprobar que es continua en 0, y sin embargo no es − x si x < 0  derivable en 0.

Javier Martínez del Castillo

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3. Derivada de funciones polinómicas
Lema: Sean f y g dos funciones derivables en un intervalo. Entonces también son derivables su suma, y el producto de una constante por una de las funciones. Además : a) ( f + g ) ′ = f ′ + g ′ b) ( k ⋅ f ) ′ = k ⋅ f ′ Teorema: a) Si f ( x ) = k b) Si f ( x ) = x c) Si f...