Derivadas

DERIVADA DE UNA FUNCION.- Introducción.-
Se abre aquí el estudio de uno de los conceptos fundamentales del cálculo diferencial: la derivada de una función.
En este tema, además de definir tal concepto, se mostrará su significado y se hallarán las derivadas de las funciones más usuales. Es de capital importancia dominar la derivación para después poder abordar el trazado de curvas, así comopara comprender la utilidad del cálculo integral, que se estudiarán a continuación.
La noción de derivada es históricamente anterior al concepto de límite aunque actualmente se estudie aquélla inmediatamente después de éste, por razones que serán fácilmente comprensibles.
La derivada de una función en un punto x0 surge del problema de calcular la tangente a la gráfica de la función en el punto deabscisa x0, y fue Fermat el primero que aportó la primera idea al tratar de buscar los máximos y mínimos de algunas funciones. En dichos puntos las tangentes han de ser paralelas al eje de abscisas, por lo que el ángulo que forman con éste es de cero grados. En estas condiciones, Fermat buscaba aquellos puntos en los que las tangentes fueran horizontales 

DERIVADA DE UNA FUNCION EN UN PUNTO|

Sea una función y = f(x) y x0 un punto del eje X. Si se toma un punto x0 + h muy próximo a x0 (h es un número infinitamente pequeño), a medida que se hace tender h a cero, la recta secante (en rojo de la figura) que une los puntos
( x0,   f(x0 ) ) y ( x0 + h,    f(x0 + h) ), tiende a confundirse con la tangente (en azul de la figura) a la curva en el punto (x0,f(x0 )).
que determina latangente con ese mismo eje, en el triángulo rectángulo de vértices (x0,f(x0 )), (x0 + h,f(x0 + h)) y (x0 + h,f(x0 )), se verifica:

Al hacer tender h a cero, y puesto que la secante tiende a confundirse con un segmento
de la tangente, es decir, si miras la figura, al hacer que h tienda a cero la línea roja se acerca a la línea azul por lo que:
tg ah   tiende a tg a, es decir, 
a la pendientede la tangente a la curva en el punto (x0,f(x0 )).
Esto se expresa matemáticamente así: NOTA: Es importante que entiendas esto, pues es el núcleo por  
el que después entenderás otros conceptos,  
si no es así, dímelo | |
Derivada de una función en un punto Dada una función y = f(x), se llama derivada de la función f en un punto x0 al f '(x0 ) (efe prima de equis sub-cero) o por D(f(x0)):

Cuando este límite existe (y es finito) se dice que la función f(x) es derivable en el punto x0.Significado de la derivada Puesto que

la derivada de la función en un punto x0 no es otra cosa que la pendiente de la tangente a la curva (gráfica de la función) en (x0, f(x0 )).
 Calcular la derivada de la función f(x) = 3x + 5 en el punto de abscisa x = 1.
Resolución:
Se pide el valorde f '(1) (en este caso, x0 = 1).
 
 Por tanto, f '(1) = 3.Calcular la derivada de la función f(x) =  en el punto 2.Resolución:    (conjugado del numerador) Recordando que suma por diferencia es igual a la diferencia de los cuadrados:

 
 Ejercicio: cálculo de la ecuación de la tangente a una función en un punto Calcular la ecuación de la tangente a la curva f(x) = x2 en el punto deabscisa 2.Resolución: La tangente pasa por el punto (2, f(2)) = (2,4). La pendiente (m) de la tangente a la curva en el punto de abscisa 2 es, por definición, f '(2), luego la ecuación de la recta es de la forma
y - y0 = m (x - x0)
y - 4 = f '(2) (x - 2). La ecuación de la tangente es entonces
y - 4 = 4(x - 2)
y - 4 = 4x - 8 4x - y - 4 = 0.Ejercicio: estudio de la derivabilidad de una funciónen un punto Estudiar la derivabilidad de la función f(x) definida por

  Resolución: a) Derivabilidad en x1 = 1.
Se han de considerar dos casos:
1º Lo que pasa a la derecha de este punto, para ello consideraremos h>0
Si h > 0, lógicamente  (x1 + h) = 1 + h > 1 y en este caso estamos muy cerca del punto azul del figura pero a la derecha, por lo que la función es la línea recta...