Derivadas

Aplicaciones de la Derivada
Publicado por Profesor - 18/05/08 a las 02:05:43 pm

La derivada tiene una gran variedad de aplicaciones además de darnos la pendiente de la tangente a una curva en unpunto. Se puede usar la derivada para estudiar tasas de variación, valores máximos y mínimos de una función, concavidad y convexidad, etc.

Ejemplo:
Encuentre los máximos y mínimos de la ecuación:Por el criterio de la primera derivada. Obtenemos la primera derivada de la función:

Encontrando las raíces para la primera derivada tenemos:

Por lo tanto tenemos algún máximo o mínimoen el punto x=0, para determinar si es un máximo o un mínimo tendremos que valuar la pendiente antes y después de cero, es decir, en sus vecindades de este punto.
Evaluando en y´(-0.01) tenemos:y´(-0.01)= -0.004
Evaluando para x después de cero tenemos:
y´(0.01)= 0.004
como la derivada alrededor de cero cambia de positivo negativo a positivo por tanto tenemos un mínimo local en (0,0).Teorema del Valor Medio:
Si f es continua en el intervalo cerrado [a,b] y derivable en el intervalo abierto (a,b) existe al menos un número c tal que:
“.
Ejemplo:

(a+h)=hf’[a+t(b-a)]+f(a)En nuestro caso sea f(x)=ln(x) x para con a=1 y h=x2. Como x2 es siempre positivo, el logaritmo se puede calcular para todo x y la función es continua para todo x. También es derivable en todovalor real siendo la derivada:


Aplicando el teorema:



Pues f(1)=ln 1=0

Y como para x distinto de cero:



Dado que la penúltima fracción es igual a ln(1+x2), queda finalmente:Como queríamos probar.



Teorema de Rolle:
Suponiendo que f es continua en el intervalo cerrado [a,b] y derivable en el intervalo abierto (a,b). Si f(a) = f(b), existe al menos un número centre a y b tal que:
F’(c)= 0
Ejemplo:
f(x)=x3+ 4x2-7x-10
en el intervalo [-1, 2]

f’(x)=3x2+ 8x-7

f(-1)=(-1)3+4(-1)2-7(-1)-10=-1+4+7-10=0

f(2)=23+4.22-7.2-10=8+16-14-10=0
Se...