Derivadas

 

Derivadas. 
1. Derivada de una suma                          (u + v)' = u'+ v'      2. Derivada de una multiplicación         (uv)' = vu'+ uv'   

 
! u $ vu'' uv' 3.Derivada de una división                     # & =    "v% v2
'

  4. Derivada de algebraica                          ( f n ) ' = nf n!1 f '      5. Derivada de una raíz cuadrada             6.Derivada de una función potencia     ( a f ) ' = (a f ln f ) f '      7. Derivada de la función exponencial  ( e f ) ' = ( e f ) f '      8. Derivada de la función ln                      (ln f )' =   9.Derivada de la función loga                   (log a f )' =
f' 1    f ln a f'    f

( f ) ' = 2 f 'f

  

    Ejemplos. Derivar las siguientes funciones:     1. y = 3+ e 4 x   Solución: Utilizamos la fórmula para derivar una raíz cuadrada, para lo  cual hacemos  f = 3+ e 4 x  , de donde obtenemos:    y = 3+ e 4 x = f           luego  f' .  y' = 2 f            Observamos que en la fórmula anterior solamente nos falta conocer  f ' ,                   la cual es una suma por lo que  f ' = 0 + ( e 4 x ) 4 = 4e 4 x  . Finalmente              sustituimos este valor en  y'      f' 4e 4 x 2e 4 x .  y' = = = 2 f 2 3+ e 4 x 3+ e 4 x

 
4 ! 3x   4 + 3x Solución: Aplicamos las propiedades de los logaritmos 

2.   y = ln

 

y = ln

" 4 ! 3x % 4 ! 3x 1 " 4 ! 3x % 1 = ln $ ' = ln $ ' = [ ln(4 ! 3x) ! ln(4 + 3x)]   # 4 + 3x & 4 + 3x 2 #4 + 3x & 2

1 2

                   luego hacemos  f = 4 ! 3x   y    g = 4 + 3x  , de donde obtenemos     
 

           Aplicamos la fórmula para derivar ln     
 

1 y = [ ln f ! ln g] . 2

1 " f ' g' % y' = $ ! '   2# f g &

           Observamos que en la fórmula anterior solamente nos falta conocer  f '             y   g'  , ambas son sumas por lo que  f ' = !3    y   g' = 3. Finalmente              sustituimos este valor en  y'      1 " !3 3 % 1 " !3(4 + 3x) ! 3(4 ! 3x) % 1 " !24 % !12 y' = $ ! = '= $ '= $ 2' 2 # 4 ! 3x 4 + 3x & 2 # (4 !...