Derivadas

1.5. EXERCICIS RESOLTS

13

1.5
Exercici 1. Estudia la continuïtat i la derivabilitat de la funció ½ 2  + 1 si  · 0  () = 42 + 1 si   0

Exercicis resolts

² Observem que  () serà derivable a tot arreu excepte, pot ser, en el punt  = 0. Comencem per estudiar la continuïtat de () en el punt  = 0 ja que si  () no és contínua en el punt  = 0 aleshores ja no serà derivable.²  (0) = 02 + 1 = 1 ² !0¡ 2 + 1 = 1 ² !0+ 42 + 1 = 1

Per tant,  és contínua en el punt  = 0 i d’aquesta manera té sentit estudiar-ne la seva derivabilitat,
2 2

+1-1 ² !0+  ()¡ (0) = !0+ 4¡0 = !0+ 4 = !0+ 4 = 4 ¡0 
2 2

+1¡1 ² !0¡  ()¡ (0) = !0¡  ¡0 = !0¡  = !0-  = 0 ¡0 

Per tant  és derivable a tot arreu excepte en el punt = 0 on f no és derivable ja que !0+  ()¡ (0) 6= !0¡  ()¡ (0) . ¡0 ¡0 ½ 2 si   0 La derivada de  és, doncs, 0() =  8 si   0

Exercici 2. Estudia la continuïtat i la derivabilitat de la funció a partir dels valors de  i . 8 si 0 < cos   () =  + 2 si 0 ·  · 1 :  si   1 

² Observem que  () és contínua i derivable sempre excepte, pot ser , en els punts  =0 i  = 1. Comencem estudiant, doncs, la continuïtat de () en  = 0 i  = 1,

pdfMachine A pdf writer that produces quality PDF files with ease! Produce quality PDF files in seconds and preserve the integrity of your original documents. Compatible across nearly all Windows platforms, if you can print from a windows application you can use pdfMachine. Get yours now!

14

CAPÍTOL 1.CONTINUÏTAT I DERIVABILITAT

(0) =  + 02 =  !0+  + 2 =  !0-  = 1 I, aleshores, per tant  = 1. (1) =  + 12 =  + 1 !1¡  + 2 =  + 1
b x!1+  = 

I, aleshores, per tant  =  + 1 = 2. Així, doncs, per tal que  pugui ser derivable caldrà tenir la funció 8 si 0 < cos  2  () = 1 +  si 0 ·  · 1 :  si   1  Estudiem, ara, la seva derivabilitat en  = 0
2 2

!0+  ()¡ (0) = !0+ 1+ -1 = !0+ ¡0 = !0+  = 0. ¡0 ¡0

x!0¡  ()¡ (0) = x!0¡ ¡1 = 0 = 0 ¡0 ¡0 Per tant,  és derivable en  = 0 vegem què passa en  = 1.
2

-2 2-2x x x!1+  ()¡ (1) = x!1+ ¡1 = x!1+ ¢(x-1) = x!1+ -2 = ¡2 ¡1 
2 2

x!1¡  ()¡ (1) = x!1¡ 1+ -2 = x!1¡  -1 = x!1¡  + 1 = 2. ¡1 ¡1 ¡1 Per tant f no ésderivable en  = 1

Així, doncs, la derivada de  en general és, 8 0 < -sin  si  0() = 2 si 0 ·   1 :  - 2 si   1


¡1 Exercici 2. Troba el valor del següent límit, !0   



¡1 ² Sigui  () =  i observem que x!0   = 0(0) = 0 = 1

Exercici 3. Troba el valor del següent límit, !0    ² Sigui  () =  i observem que !0  =  0(0) = 0 = 1 pdfMachine A pdf writer that produces quality PDF files with ease! Produce quality PDF files in seconds and preserve the integrity of your original documents. Compatible across nearly all Windows platforms, if you can print from a windows application you can use pdfMachine. Get yours now!

1.5. EXERCICIS RESOLTS

15

Exercici 4. Troba la recta tangent a la corba  () = 2 ¡ 3 ¡ 4 enels punts de tall amb l’eix .

² Anem a buscar els punts de tall d’aquesta funció amb la recta  = 0.
9+16 2 ¡ 3 ¡ 4 = 0 !  = 3§ 2 = 3§5 amb 1 = 4 i 2 = ¡1. Per tant, hem 2 de trobar la recta tangent en els punts 1 = 4 i 2 = ¡1. p

 0() = 2 ¡ 3  (4) = 0  0(4) = 2¢4 ¡ 3 = 5 Aleshores, tindrem  ¡ (4) =  0(4)¢(¡4)! ¡0 = 5¢(¡4) !  = 5¡20  0() = 2 ¡ 3  (4) = 0  0(4) =2¢(¡1) ¡ 3 = ¡5 Aleshores, tindrem  ¡  (4) = 0(4)¢( ¡ 4) !  ¡ 0 = ¡5¢( ¡ 4) !  = ¡5 + 20 Exercici 5. Escriu la recta tangent a la funció () = 2 ¡ 6 en els punts de tall amb la recta  = 

² Anem a cercar, primerament, els punts de tall de la funció amb la recta  = . ½ ½  = 2 ¡ 6 1 = 0 2 2 )  ¡ 6 =  )  ¡ 7 = 0 ) . Per tant, = 2 = 7 haurem de buscar les rectes...