Derivadas

DERIVADAS
4.1 Conceptos de incremento y de razon de cambio. La derivada de una funcion.

En geometría, la derivada de una función en un punto representa el valor de la pendiente de la recta tangente en dicho punto. La pendiente está dada por la tangente del ángulo que forma la recta tangente a la curva (función) con el eje de las abcisas, en ese punto.
La derivada de una función mide elcoeficiente de variación de dicha función. Es decir, provee una formulación matemática de la noción del coeficiente de cambio. El coeficiente de cambio indica lo rápido que crece (o decrece) una función en un punto (razón de cambio promedio) respecto del eje [pic]de un plano cartesiano de dos dimensiones. Por ejemplo si tomamos la velocidad de algo, su coeficiente es la aceleración, la cual mide cuántocambia la velocidad en un tiempo dado.
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La derivada de la función en el punto marcado equivale a la pendiente de la recta tangente (la gráfica de la función está dibujada en negro; la tangente a la curva está dibujada en rojo).

La derivada de una función.
• La derivada de una función es otra función que se obtiene a partir de la función original.
• La nueva gráfica delplano cartesiano definida por esta nueva función (la derivada) y obtenida de una función original, representa la velocidad con que la función original crece o decrece en cada punto. Esta velocidad de crecimiento o decrecimiento viene definida por la pendiente del punto tratado. Es evidente que con un solo punto dibujado en la grafica no puede apreciarse pendiente alguna, pero al dibujar variospuntos lo más contiguos posibles (a partir de la función derivada), y uniéndolos mediante una línea, la idea de pendiente queda visualizada.
• En la gráfica de una función derivable, la pendiente representa la rapidez con que aumenta el valor en cada punto. Si la pendiente en un punto es muy grande, entonces la función en ese punto crece muy deprisa; si la pendiente es muy pequeña, entonces lafunción crece muy despacio en ese punto.
• La pendiente(o valor de crecimiento) en un punto [pic]de la función [pic]se representa por la expresión [pic]y de esta manera [pic]representa la nueva función.
• En términos geométricos, esta pendiente [pic]es "la inclinación" de la línea recta que pasa justo por encima del punto [pic]y que es tangente a la gráfica de [pic].

[Elincremento Dx de una variable x es el aumento o disminución que experimenta, desde un valor x = x0 a otro x = x1 de su campo de variación. Así, pues,
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o bien
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Si se da un incremento Dx a la variable x, (es decir, si x pasa de x = x0 a x = x0 + Dx), la función y = f (x) se verá incrementada en Dy = f (x0 + Dx) - f (x0) a partir del valor y = f (x0). El cociente
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recibe el nombre de cocientemedio de incrementos de la función en el intervalo comprendido entre x = x0 a x = x0 + Dx. (Ayres, 22)]

Pendiente

[Si h ¹ 0, entonces los dos puntos distintos (a, f (a)) y (a+h, f (a+h)) determinan, como en la figura 6, una recta cuya pendiente es
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la 'tangente' en (a, f (a)) parece ser el límite, en algún sentido, de estas 'secantes', cuando h se aproxima a 0. Hasta aquí nohemos hablado nunca del 'límite' de rectas, pero podemos hablar del límite de sus pendientes: La pendiente de la tangente (a, f (a)) debería ser
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Comenzando por la Razón Instantánea de Cambio de una función cuya variable independiente es el tiempo t. suponiendo que Q es una cantidad que varía con respecto del tiempo t, escribiendo Q=f(t), siendo el valor de Q en el instante t. Porejemplo
• El tamaño de una población (peces, ratas, personas, bacterias,…)
• La cantidad de dinero en una cuenta en un banco
• El volumen de un globo mientras se infla
• La distancia t recorrida en un viaje después del comienzo de un viaje
El cambio en Q desde el tiempo t hasta el tiempo t+"t, es el incremento
La Razón de Cambio Promedio de Q (por la unidad de tiempo) es,...