Derivadas

En la figura de la izquierda se esboza la interpretación geométrica del teorema:  "Prueba de la primera derivada". En la parte izquierda de la figura se tiene un valor máximo relativo en c, y se observa que f '(x)>0 para x<c (en algún intervaloque tiene a c como su extremo derecho) y  f '(x)<0 para x>c (en algún intervalo que tiene a c como su extremo izquierdo); en la parte derechase tiene un valor mínimo relativo en c, y se observa que f '(x)<0 para x<c (en algún intervalo que tiene a c como su extremo derecho) y  f '(x)>0 para x>c (en algún intervalo que tiene a c como su extremo izquierdo) |

 P r o c e d i m i e n t o
Para determinar los valores extremos relativos de una función se procede de la siguiente manera:
1.  Se halla la derivada de la función: f '(x)
2.  Se hallan los #s críticos de la función, esto es los valores de x para los cuales
      f '(x) = 0  o para los cuales  f ' no existe.
3.  Se aplica el criterio de la primera derivada.

x | f (x) | f '(x) | Conclusión |
| | | f  decrece |
| | 0 | f tiene un mínimo relativo |
| | + | f  crece |

| |

 

x | f (x) | f '(x) | Conclusión |
| | + | f  crece || | 0 | f tiene un máximo relativo |
| | | f  decrece |
| | 0 | f  tiene un mínimo relativo |
| | + | f  crece |

| Tabla de valores |
x | y |
-1 | -1 |
-1/3 | 5/27 |
0 | 0 |
1 | -1 |
2 | 2 |
|

Máximos y Mínimos
Con cierta frecuencia nos encontramos con la necesidad de buscar la mejor forma de hacer algo. En muchas ocasiones a través de los poderososmecanismos de cálculo diferencial es posible encontrar respuesta a estos problemas, que de otro modo parecería imposible su solución.
Entre los valores q puede tener una función (Y) puede haber uno que sea el mas grande y otro que sea el mas pequeño. A estos valores se les llama respectivamente punto máximo y punto mínimo absolutos.
Si una función continua es ascendente en un intervalo y a partir de unpunto cualquiera empieza a decrecer, a ese punto se le conoce como punto critico máximo relativo, aunque comúnmente se le llama solo máximo.
Por el contrario, si una funcion continua es decreciente en cierto intervalo hasta un punto en el cual empieza a ascender, a este punto lo llamamos puntro critico minimo relativo, o simplemente minimo.
Una funcion puede tener uno, ninguno o varios puntoscriticos.
Curva sin máximos ni mínimos función sin máximos ni mínimos

Función con un máximo curva con un máximo y un mínimo
Curva con un mínimo curva con varios mínimos y máximos
La pendiente de la recta tangente a una curva (derivada) en los puntos críticos máximos y mínimos relativos es cero, ya que se trata de una recta horizontal.
En los puntos críticos máximos, las funciones tienen unvalor mayor que en su entorno, mientras que en los mínimos, el valor de la función es menor que en su entorno.
En un punto critico maximo relativo, al pasar la funcion de creciente a decreciente, su derivada pasa de positiva a negativa.
En un punto critico minimo relativo, la funcion deja de decrecer y empieza a ser creciente, por tanto, su derivada pasa de negativa a positiva.
METODOS PARACALCULAR MAXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCION
Para conocer las coordenadas de los puntos críticos máximos y mínimos relativos en una función, analizaremos dos mecanismos:
 CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA, UTILIZADO PARA UNA FUNCION CONTINUA Y SU PRIMERA DERIVADA TAMBIEN CONTINUA.
 obtener la primera derivada.
 igualar la primera derivada a cero y resolver la ecuación.
El valor o valoresobtenidos para la variable, son donde pudiera haber máximos o mínimos en la función.
 se asignan valores próximos (menores y mayores respectivamente) a la variable independiente y se sustituyen en la derivada. Se observan los resultados; cuando estos pasan de positivos a negativos, se trata de un punto máximo; si pasa de negativo a positivo el punto crítico es mínimo.
Cuando existen dos o más...