Derivadas

DESARROLLO DE CONTENIDOS

INTRODUCCIÓN

Se abre aquí el estudio de uno de los conceptos fundamentales del cálculo diferencial: la derivada de una función.

En este tema, además de definir tal concepto, se mostrará su significado y se hallarán las derivadas de las funciones más usuales. Es de capital importancia dominar la derivación para después poder abordar el trazado de curvas, así comopara comprender la utilidad del cálculo integral, que se estudiarán a continuación.

La noción de derivada es históricamente anterior al concepto de límite aunque actualmente se estudie aquélla inmediatamente después de éste, por razones que serán fácilmente comprensibles.

La derivada de una función en un punto x0 surge del problema de calcular la tangente a la gráfica de la función en elpunto de abscisa x0, y fue Fermat el primero que aportó la primera idea al tratar de buscar los máximos y mínimos de algunas funciones. En dichos puntos las tangentes han de ser paralelas al eje de abscisas, por lo que el ángulo que forman con éste es de cero grados. En estas condiciones, Fermat buscaba aquellos puntos en los que las tangentes fueran horizontales.

DERIVADAS PARA FUNCIONES ENUNA VARIABLE

Consideremos la velocidad instantánea de una partícula que describe un movimiento rectilíneo, que se mueve según la ecuación . Podemos calcularla mediante el límite:

o bien

Así también la pendiente de la tangente a la curva cuya ecuación es en el punto , se puede determinar calculando el límite.

o bien

En ambos casos loslímites tienen exactamente la misma forma.

De este modo, los límites que tienen esta estructura se les denomina derivada de la función en el punto .
Definición:

Sea una función. Se denomina derivada de la función

A la función y = definida por:

, siempre y cuando este límite exista.

Destaquemos las siguientes consideraciones:

1. Si , la derivada de esta funciónse denota por .

2. Si la derivada existe en , entonces decimos que la función es diferenciable en ; ( en el dominio de ).

3. La derivada de una función en el punto podemos escribirla también como .

4. Si una función es diferenciable en todos los puntos de su dominio, decimos que la función es diferenciable.

5. Podemos decir que la pendiente de la recta tangente a lacurva en el punto es precisamente la derivada de la función evaluada en .

6. Si recordamos el problema de la velocidad instantánea en podemos decir que esta es la derivada de la función evaluada en

DERIVADA DE UNA FUNCION EN UN PUNTO

Sea una función y un punto del eje X. Si se toma un punto muy próximo a (h es un número infinitamente pequeño), a medida que se hacetender h a cero, la recta secante (en rojo de la figura) que une los puntos , f tiende a confundirse con la tangente (en azul de la figura) a la curva en el punto
Si es el ángulo que forma la secante con el eje de absisas, y  el ángulo que determina la tangente con ese mismo eje, en el triángulo rectángulo de vértices , y , se verifica:



Al hacer tender h a cero, y puestoque la secante tiende a confundirse con un segmento
de la tangente, es decir, si miras la figura, al hacer que h tienda a cero la línea roja se acerca a la línea azul por lo que: tiende a , es decir, a la pendiente de la tangente a la curva en el punto .
Esto se expresa matemáticamente así:
Entonces:

Dada una función , se llama derivada de la función f en un punto al limite, siexiste y es finito (un número), y se simboliza por , , , o :

Cuando este límite existe (y es finito) se dice que la función f(x) es derivable en el punto .

Significado de la derivada
Puesto que la derivada de la función en un punto no es otra cosa que la pendiente de la tangente a la curva (gráfica de la función) en .

Ejemplos:

1. Calcular la derivada de la función...