DERIVADAS

TEMA 4.- DERIVABILIDAD.

1.- Derivada de una función en un punto. Interpretación geométrica
2.- Derivadas laterales.
3.- Función derivada. Derivadas sucesivas.
4.- Reglas de derivación. Regla de la cadena.


1.- DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA.


Definición: Se llama derivada de una función f(x) en un punto x=a, y se representa , al siguiente límite (siexiste):


Ejemplo: Calcula f '(2), utilizando la definición de derivada, siendo: f (x) = 2x2 + 5x

Solución:






Interpretación geométrica:

El conjunto de funciones reales de variable real es tan amplio que es prácticamente imposible encontrar propiedades generales para todas. Si nos restringimos a las funciones continuas ya pueden establecerse algunas propiedadesimportantes como los teoremas de Bolzano y de Weierstrass. Pero en las funciones continuas todavía se plantean muchos problemas como puede ser la determinación de la recta tangente en un punto de la gráfica. Con la definición intuitiva de que la tangente es la recta que toca a la curva sólo en ese punto la recta de la primera figura no sería tangente, mientras que en las otras figuras habría variastangentes (alguna bastante extraña) en un mismo punto.


Lo cierto es que esa definición intuitiva sólo es válida para la circunferencia y curvas similares: cerradas y convexas (“sin baches”). Para el caso general hace falta una nueva definición que sea válida siempre y que corresponda a la idea intuitiva en los casos en que ésta pueda aplicarse. Y esa definición es la siguiente:

“La rectatangente a una curva en un punto P(a, f(a)) es la posición límite hacia la que tienden las rectas secantes que pasan por ese punto P y por otro punto Q de la curva, cuando el segundo punto Q se acerca a P”.




Para poder hallar la ecuación de esa recta tangente en el punto de coordenadas A(a, f(a)), si la escribimos en forma punto-pendiente:
y – f(a) = m(x – a)necesitamos saber el valor de la pendiente m.

Para ello, si tenemos en cuenta que la recta tangente es la posición límite de las secantes, entonces su pendiente será el límite de las pendientes de las secantes, con lo que:














Punto Fijo Punto Variable Recta Ángulo Pendiente
A……………….P1.........................sec nº1….........α1….........
A……………….P2.........................sec nº 2….........α2….........
………………......................................................................................................
………………. …................................................................................................

Cuando esa situación la llevemos al límite, es decir, cuando acerquemosP hacia A, tendremos:

A…………….A……………......tangente...........α…....


Por tanto, la derivada de una función f(x) en un punto “a” puede interpretarse geométricamente como la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto (a, f(a)).


Interpretación física:

El cálculo de derivadas o cálculo diferencial surge en el siglo XVII al tratar de resolver una serie deproblemas que aparecían en las Matemáticas y en la Física, como son (entre otros):

la definición de velocidad
la determinación de la recta tangente a una curva en un punto dado.
el cálculo de los valores máximos y mínimos que alcanza una función.

En estos y otros problemas similares de lo que se trata, en el fondo, es de estudiar, de medir y cuantificar, la variación de un determinadofenómeno, la rapidez con que se produce un cambio.

La tasa de variación media (TVM), o cociente incremental, nos da una primera idea de la rapidez con que varía un fenómeno en un intervalo determinado. Se define como el cociente:



es decir, nos dice cuanto variaría la función por cada unidad de variación de la variable independiente dentro del intervalo considerado suponiendo que esa...