derivadas

 . MATRICES
3. CONCEPTO DE MATRIZ Una matriz es un conjunto de elementos de cualquier naturaleza aunque, en general, suelen ser números ordenados en filas y columnas. Se llama matriz de orden "m × n" a un conjunto rectangular de elementos a ij dispuestos en m filas y en n columnas. El orden de una matriz también se denomina dimensión o tamaño , siendo m y n númerosnaturales.
4. Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Además de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometría, estadística, economía, informática, física, etc... La utilización de matrices constituye actualmenteuna parte esencial donde los lenguajes de programación, ya que la mayoría de los datos se introducen en los ordenadores como tablas organizadas en filas y columnas : hojas de cálculo, bases de datos,...
5. Las matrices se denotan con letras mayúsculas: A, B, C, ... y los elementos de las mismas con letras minúsculas y subíndices que indican el lugar ocupado: a, b, c, ... Un elemento genéricoque ocupe la fila i y la columna j se escribe a ij . Si el elemento genérico aparece entre paréntesis también representa a toda la matriz : A = (a ij )
6. Cuando nos referimos indistintamente a filas o columnas hablamos de líneas. El número total de elementos de una matriz Am×n es m·n En matemáticas, tanto las Listas como las Tablas reciben el nombre genérico de matrices.
7. Una listanumérica es un conjunto de números dispuestos uno a continuación del otro. MATRICES IGUALES Dos matrices A = (a ij )m×n y B = (b ij )p×q son iguales, sí y solo si, tienen en los mismo lugares elementos iguales, es decir : ALGUNOS TIPOS DE MATRICES Hay algunas matrices que aparecen frecuentemente y que según su forma, sus elementos, ... reciben nombres diferentes :
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12.Para establecer las reglas que rigen el cálculo con matrices se desarrolla un álgebra semejante al álgebra ordinaria, pero en lugar de operar con números lo hacemos con matrices.
13. OPERACIONES CON MATRICES SUMA DE MATRICES La suma de dos matrices A = (a ij )m×n y B = (b ij )p×q de la misma dimensión (equidimensionales) : m = p y n = q es otra matriz C = A+B = (c ij )m×n = (a ij +b ij )14. Es una ley de composición interna con las siguientes PROPIEDADES : · Asociativa : A+(B+C) = (A+B)+C · Conmutativa : A+B = B+A · Elem. neutro : ( matriz cero 0 m×n ) , 0+A = A+0 = A · Elem. simétrico : ( matriz opuesta -A ) , A + (-A) = (-A) + A = 0 Al conjunto de las matrices de dimensión m×n cuyos elementos son números reales lo vamos a representar por M m×n y como hemos visto, porcumplir las propiedades anteriores, ( M, + ) es un grupo abeliano.
15. PRODUCTO DE UN NÚMERO REAL POR UNA MATRIZ Para multiplicar un escalar por una matriz se multiplica el escalar por todos los elementos de la matriz, obteniéndose otra matriz del mismo orden.
16. Es una ley de composición externa con las siguientes PROPIEDADES :
17. PRODUCTO DE MATRICES Dadas dos matrices A = (a ij )m×n y B =(b ij )p×q donde n = p, es decir, el número de columnas de la primera matriz A es igual al número de filas de la matriz B , se define el producto A·B de la siguiente forma : El elemento a que ocupa el lugar (i, j) en la matriz producto se obtiene sumando los productos de cada elemento de la fila i de la matriz A por el correspondiente de la columna j de la matriz B. MATRIZ INVERSA Sellama matriz inversa de una matriz cuadrada An y la representamos por A -1 , a la matriz que verifica la siguiente propiedad : A -1 ·A = A·A -1 = I Decimos que una matriz cuadrada es "regular" si su determinante es distinto de cero, y es "singular" si su determinante es igual a cero.
18. PROPIEDADES : Sólo existe matriz inversa de una matriz cuadrada si ésta es...