Derivadas

Aplicación de derivadas
Dada la siguiente función se puede observar que:
f(x)=3x^4-4x^3-12x^2+17
Cuya grafica es la siguiente

Derivada
La derivada de la función mostrada anteriormente es:f´(x)=12x^3-12x^2-24x=x^3-x^2-2x
Igualando la derivada a 0, factorizando y resolviendo la ecuación se tiene:
f´(x)=x^3-x^2-2x=(x-2)(x+1)x
Los tres valores de x que vuelven la función 0 son: x=0,x=2, x=-1; en estos puntos puede haber un máximo o un mínimo.
Crecimiento y Decrecimiento
Se escogen intervalos de acuerdo a los valores de x obtenidos anteriormente; es decir que para este casoexistirán 4 intervalos:
Intervalo (-∞,-1]
Intervalo [-1, 0]
Intervalo [0,2]
Intervalo [2, ∞)
Se toma un valor dentro de cada intervalo y se evalúa en la derivada de la función, esto con el finde saber el signo en cada intervalo
Intervalo (-∞,-1], f´(-2)= 〖(-2)〗^3-〖(-2)〗^2-2(-2)=-8→Negativo=Decreciente
Intervalo [-1, 0], f´(-0.5)= 〖(0.5)〗^3-〖(0.5)〗^2-2(0.5)=-1.125→ Negativo=DecrecienteIntervalo [0,2], f´(1)= 〖(1)〗^3-〖(1)〗^2-2(1)=-2→ Negativo=Decreciente
Intervalo [2, ∞), f´(4)= 〖(4)〗^3-〖(4)〗^2-2(4)=40→ Positivo=Creciente
Tal como se puede ver el único punto donde la funcióncambia de decreciente a creciente es en (2,-15) lo que indica que es este punto hay un mínimo que para este caso seria absoluto.
Los intervalos Intervalo (∞,-1]; Intervalo [-1, 0] y Intervalo [0,2]son de Decrecimiento mientras que el intervalo [2, ∞) es de Crecimiento.
Intervalos de Concavidad
Hallando la segunda derivada, factorizando e igualando a 0
f´´(x)=〖3x〗^2-2x-2=0x=(-(-2)±√(〖(-2)〗^2-4.3.(-2)))/(2(3))
X=(2+√28)/6 , X= (2-√28)/6
El paso a seguir es formar intervalos abiertos con las raíces encontradas anteriormente
Intervalo (-∞,(2-√28)/6)
Intervalo ((2-√28)/6, (2+√28)/6)Intervalo ((2+√28)/6, ∞ )
Ahora se tomara un número dentro de cada intervalo y se evaluara la segunda derivada
Si f''(x) > 0 es cóncava.
Si f''(x) < 0 es convexa.
Intervalo (-∞,(2-√28)/6),...