Derivadas

1

CAPITULO 7

Aplicaciones de la Integral Definida
Licda. Elsie Hern´ndez Sabor´
a
ıo

Instituto Tecnol´gico de Costa Rica
o
Escuela de Matem´tica
a

···
Revista digital Matem´tica, educaci´n e internet (www.cidse.itcr.ac.cr)
a
o

2
Cr´ditos
e

Primera edici´n impresa:
o
Edici´n LaTeX:
o
Edici´n y composici´n final:
o
o
Gr´ficos:
a

´
Rosario Alvarez, 1988.
LuisErnesto Carrera
Walter Mora.
Luis Ernesto Carrera, Walter Mora, Marieth Villalobos.

Comentarios y correcciones:

escribir a wmora2@yahoo.com.mx

Contenido
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5

C´lculo de ´reas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
a
´
Area de una regi´n comprendida entre dos curvas . .
o
Vol´menes de s´lidos de revoluci´n . . . . . . . . . .
u
o
o
Longitud de unacurva plana . . . . . . . . . . . . .
C´lculo de trabajo con ayuda de la integral definida
a

3

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. 5
. 8
. 15
. 30
. 34

4
La integral definida es una herramienta util en las ciencias f´
´
ısicas y sociales, ya que muchas cantidades de inter´s
e
en dichas ciencias pueden definirse mediante el tipo de suma que se presenta en la integral definida.
Antes de estudiar casosespec´
ıficos en que se utiliza la integral definida, daremos las siguientes definiciones:
Definici´n 1
o
Recibe el nombre de partici´n de un intervalo cerrado [a, b] un conjunto de intervalos cerrados:
o
{[x0 , x1 ], [x1 , x2 ], [x2 , x3 ], . . . , [xn−2 , xn−1 ], [xn−1 , xn ]}
que posee las propiedades:
1. [x0 , x1 ] ∪ [x1 , x2 ] ∪ . . . ∪ [xn−2 , xn−1 ], [xn−1 , xn ]} = [a, b]
2. [xi−1 , xi ]∩ [xi , xi+1 ] = xi con i ∈ {1, 2, . . . , n}
3. [xj−1 , xj ] ∩ [xk , xk+1 ] = ∅ a menos que k = j o j − 1 = k + 1.
Definici´n 2
o
Cada intervalo en una partici´n de [a, b] se llama subintervalo [a, b]. Una partici´n est´ determinada por los
o
o
a
n´meros que son puntos externos de los subintervalos de la partici´n. As´ una partici´n que contenga n
u
o
ı,
o
subintervalos quedadeterminada por un conjunto de n + 1 n´meros.
u
{x0 , x1 , x2 , . . . , xn−1 , xn },
donde x0 = a, xn = b, xi−1 < xi para i ∈ {1, 2, 3, . . . , n}.
Denotaremos con Pn la partici´n determinada por este conjunto de n + 1 n´meros, as´
o
u
ı:

Pn = {[x0 , x1 ], [x1 , x2 ], . . . , [xn−2 , xn−1 ], [xn−1 , xn ]}
Definici´n 3
o
Si Pn es una partici´n de un intervalo [a, b], la norma Np de Pn es elmayor de los n n´meros
o
u

(x1 − x0 ), (x2 − x1 ), (x3 − x2 ), . . . , (xn − xn−1 ),
donde

∆x1 = x1 − x0 , ∆x2 = x2 − x1 , . . . , ∆xn = xn − xn−1 ,
o sea ∆xi = xi − xi−1 para i ∈ {1, 2, . . . , n}.
La norma Np de una partici´n Pn es la longitud del m´s grande de los subintervalos en la gr´fica de Pn que se
o
a
a
muestra a continuaci´n:
o

5

Figura 7.1:

Definici´n 4
o
SiPn es una partici´n en un intervalo [a, b], un aumento Tn de la partici´n es un conjunto de n´meros
o
o
u
{t1 , t2 , . . . , tn } tales que
x0 ≤ t1 ≤ x1 , x1 ≤ t2 ≤ x2 , x2 ≤ t3 ≤ x3 , . . . , xn−1 ≤ tn ≤ xn ,
o sea, xi−1 ≤ ti ≤ xi con i ∈ {1, 2, . . . , n}.
Gr´ficamente:
a

Figura 7.2:

7.1

C´lculo de ´reas
a
a

Sea f una funci´n cuyo dominio est´ en el intervalo cerrado [a,b], tal que f (x) ≥ 0 para x ∈ [a, b].
o
a
Sea R la regi´n plana limitada por las gr´ficas de las ecuaciones: y = f (x), y = 0 (eje x), x = a, x = b.
o
a

Figura 7.3:
Sea Pn una partici´n de [a, b] en n subintervalos determinados por el conjunto {x0 , x1 , x2 , . . . , xn−1 , xn }, con
o
∆xi = xi − xi−1 , i ∈ {1, 2, . . . , n}.
Sea Tn = {t1 , t2 , . . . , tn } un aumento de Pn .

6...