derivadas

1252 SECCIONES SUPLEMENTARIAS
F'(0) = h f xía, b) + k f y(a, ti)
= 0
F'Xz) =

+ 2 h k f xy + k % y

donde cada segunda derivada parcial se evalúa en (a + h z , b + kz) y don­
de 0 < z < 1. Si se sustituyen estos valores de F'(0) y F"(z) en (7) se obtiene
f í a + h , b + k) - f í a , b) = \ ( h 2f xx + 2 h k f xy + *2/lyy/
vv)

( 10)

Los términos entre paréntesis del miembro derechode (10) pueden escri­
birse como
*2/ , , + 2 h k f xy + k % y = f x: h 2 + 2hk
Jxx

+ \k
V Jxx,

- ( ‘ fe)

Así, de (10),
f í a + h , b + k) - f í a, b) =

fx

h + l i L ki

f x y
+ ¿x m f u y. ~ f x y 2 *2

( 11)

Como f xxf yy - Z ^ 2 evaluado en (a + h z , b + kz) es igual a
D(a + h z , b + kz) > 0
entonces la expresión entre corchetes del miembro derecho de (11) es po­sitivo. Además, puesto que f xxía + h z , b + kz) > 0, entonces de (11),
f í a + h, b + k) - f( a , b) > 0
En consecuencia se ha demostrado que
f í a + h , b + k) > f í a , b)
para cada punto (a + h, b + k.) de B' diferente de (a, ti). Por tanto, por la de­
finición 12.7.l(ii), f( a, b) es un valor mínimo relativo d e /.
■

EJERCICIOS PARA EL SUPLEM ENTO 12.8
1. Demuestre el inciso (ii)del teorema 12.8.5.

2. Demuestre el inciso (iii) del teorema 12.8.5.

TABLA PE INTEGRALES

TABLAS Y FORMULARIOS
► TABLA DE DERIVADAS
1. Dx(u") = n u D xu

15. Dx(cos 1 u) =

2. Dx(u + v) = Dxu + D xv

-D ru
-/l - u¿

1
1+ u

3. Dx(uv) = u Dxv + v Dxu

16. D ,(tan 1 u) = — í—r- D u

a

u - a
+ C =
u + a

TABLA PE INTEGRALES 1255

Formas que contienen Vw2 ±
Enlas formulas 27 a 38, se puede sustituir
ln (u + V k2 + a2 ) por senh"1—
a
ln u + V«2 - a 2 por cosh“1I
I
a
ln a + Vm2 + a 2
27.

í

por senh

du
= lnlu + V«2 ± a 2 I + C
4Ü- ± a ¿

28, J V«2 ± a 2 d« = ^ V«2 ± a 2 ±
i.
32

lnj« + V«2 ± a 2 | + C

29, f h2 V«2 ± a 2 du = ^ (2u2 ± a2) V»2 ± a 2 '.
I

8

30, . í ^
>

+ °2
u

J

31

32.
33.

= V^2” ^

8

lnI« + V«2 ± a 2 I + C
1

1

- a ln g-±..y » 2 + fl2
u

f s u - a du
i 5------ 2
-i «
~
---------------- = s u - a - a sec — + C
I

«

a

f V«2 ± a 2 d«
i/«2 ± a 2
, I
r r -; 2 1
—
--------- T
-------- = - - -------- — + ln u + V« ± a
+ c

J

f

u¿

H2

I

U

_

^ V»2 ± a 2 -

I

ln | « + V«2 ± a 2 | + C

J V «2 ± a

------ = - I ln a + V«2 + a 2“ Jw;
3
5
'Iæ

-L „ 2

„2

36.
7.

a

■i sec 1 —+ C

í

V»2 ± a2

du
J h 2 V »2 ± a 2

± a 2u

+ C

f (h2 ± a2)3/2 du = ^(2 h2 ± 5a2) a/h2 ± a 2 + ^fr-lnl« + V«2 ± a 2 I + C
8
s
i
l

38. J

du

+ C

(u 2 ± a 2 )3^2

± a 2 Vw

± a

Formas que contienen -Ja2 - u2
39. f

-

sen’ 1- + C

J V a2 - «

40.

í Va2 - h2 du —

I

41. J k2 Va2 ..42.

f Va2 -

h2

2

Va2 -

k2

+ 4 r sen-1 — + C
2
a

d« = |( 2 u 2 - a2) ^/a2 -

h 2 du

i 2 ------ 2

------------------ = Va

- «

1

- a ln

k2

+

senH - + C

a + sja1 - h2

J
= Va2 - u2 - a cosh 1— + C

+ C

1256 TABLAS Y FORMULARIOS

43.

f 4a2 ~ " 2 du =
J
u2

44

f

“2

a

% -\la2 - u2 + — sen 1—+ C
~

2

~u

J ^

45.- “2 - sen'1“ + C

u

2

-Im
a

f ■ >■

J u ^ a 2 - u2

a

a + Va2 - m
2

+C

— - - cosh-1 — + C
a
u

Va2 - «2

46.

J

f ... - . 4 » .....
u 2^¡a2 - u

47.

í (a2 - u2)^2 du = - ^ (2h2 - 5a 2 )^]a2 - u2 +
]

Formas que contienen

i

- u2

eos 111 - — + C
j

*j2au - u2 +

50. J" u ~j2au - «2 du = —------^

- \l2au - u2 + aco s~ * |l - - j + Cu

52_ f j 2 au - u2 du
J

2 au

a u - u 2 + y c o s-^ l -

V2aw - u2 du =

51. J" ^ au

a

2 / 2
2
a¿Ma¿ - u¿

(a2 - H )
2

49.

sen-1 — + C

o

_ 2V2au - u2 _ ^ . , 1 { _ u \

u2

u

\

a)

+ c

53.

í ,............ =■= c o s - 'í 1 - - ) + c
J V2au - u
V
a'

54.

í , “ .~M — = - V2a« - u2 + a eos 1í 1 - - ) + C
J V2au - w
2
\
a)

55....