derivadas

Derivada

Facultad de Contaduría y Administración. UNAM

Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

MATEMÁTICAS BÁSICAS
DERIVADA
INCREMENTOS
Se define como incremento de la variable x al aumento o disminución que experimenta, desde un valor
x1 a otro x2 , en su campo de variación. Se denota por ∆x . Por tanto:

∆x = x2 − x1
y

x1

x2

x

∆x = x2 - x1

De forma análoga, elincremento de la variable
un valor

y es el aumento o disminución que experimenta, desde

y1 a otro y 2 , en su campo de variación. Se denota por ∆ y , esto es:
∆y = y2 − y1
y

y2 = f(x2)

∆y = y2 - y1

y1 = f(x1)

x

1

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Por definición, los incrementos pueden ser:
∆ > 0 si elvalor final es mayor que el inicial

∆ 0 , se tiene: f ' ( x ) = lim

f ( x) = x

x + ∆x − x

∆x → 0

x < 0 , se tiene:

f(x) no es derivable en x = x 1

es derivable.

presenta tres posibles valores, se analiza por separado:

Por tanto, la función es derivable para
•

x

∆x

= lim

∆x →0

x > 0.

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x + ∆x − x
∆x
= lim
= lim 1 = 1
∆ → 0 ∆x
∆x →0
∆xDerivada

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f ' ( x ) = lim

x + ∆x − x
∆x

∆x →0

= lim

∆x →0

− ( x + ∆x ) − (− x )
− ∆x
= lim
= lim (− 1) = −1
∆ → 0 ∆x
∆x →0
∆x

Por tanto, la función es derivable para
•

Si

x = 0 , se tiene:

f ' ( x ) = lim

0 + ∆x − 0
∆x

∆x → 0

Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

x < 0.

(si existe)

Se comparanlos límites laterales por separado:

0 + ∆x − 0

∆x

∆x
= lim+ 1 = 1
∆x →0
∆x →0 ∆x
∆x →0 ∆x
∆x → 0
∆x
0 + ∆x − 0
∆x
− ∆x
lim−
= lim−
= lim−
= lim− ( − 1) = −1
∆x →0
∆x →0 ∆x
∆x → 0
∆x →0
∆x
∆x
lim+

Puesto que
excepto en

= lim+

= lim+

lim f (0) ≠ lim− f (0) , no existe f ' (0) . Por lo tanto f ( x ) es derivable para toda x

∆x→0+

x = 0.

∆x→0

Enla gráfica siguiente se aprecia como la función no posee tangente en

x = 0.

y

4

2

0
-4

-2

2

4

x

y = f(x) = x


FÓRMULAS BÁSICAS DE DERIVACIÓN
Sean las funciones

y = f (u )

y

u = g(x) , tal que se forme una composición de funciones que cumpla

y = f (g ( x)) .
dy
La derivada
de la función compuesta se obtiene por medio de:
dx
dy dy du
= ⋅
dxdu dx
con:

Expresión conocida también como la regla de la cadena.

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La regla de la cadena es muy útil en cambios de variable a fin de simplificar la derivación de funciones: a
una parte de la función se le denota como u , se deriva la función respecto a esta variable, se le

du
yfinalmente se sustituye u por la parte correspondiente de la función original en x .
dx
Sean u, v, w tres funciones de x , es decir, u = f (x), v = f ( x), w = f (x) y c una constante. Las once

multiplica por

primeras formulas básicas de derivación, considerando la regla de la cadena, son:
1)

d
(c ) = 0
dx

Demostración:

f (x) = c

f ( x + ∆x) = c
2º paso: f ( x + ∆x) − f (x) = c − c = 0
f ( x + ∆x ) − f ( x ) 0
er
=
=0
3 paso:
∆x
∆x
f ( x + ∆x ) − f ( x )
= lim 0 = 0
4º paso: lim
∆x→0
∆x→0
∆x
d
∴ f ' ( x ) = (c ) = 0
dx
er

1 paso:

La derivada de una constante siempre es cero.
2)

d
(x ) = 1
dx

Demostración:

f (x) = x

f ( x + ∆x) = x + ∆x
2º paso: f ( x + ∆x) − f ( x) = ( x + ∆x) − x = x + ∆x − x = ∆x
f (x + ∆x ) − f (x ) ∆xer
=
=1
3 paso:
∆x
∆x
f (x + ∆x ) − f (x )
= lim (1) = 1
4º paso: lim
∆x→0
∆x→0
∆x
d
∴ f ' (x ) = (x ) = 1
dx
La derivada de x , respecto a si misma, es uno.
er

1 paso:

3)

d
(c ⋅ x ) = c
dx

Demostración:

f ( x) = c ⋅ x
er
1 paso: f ( x + ∆x ) = c( x + ∆x )
2º paso: f ( x + ∆x) − f ( x) = c( x + ∆x) − cx = cx + c∆x − cx = c∆x

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