Derivadas

INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA
“JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI
Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química
Lic. MSc. DÁMASO ROJAS

 

ANÁLISIS GENERAL Y GRÁFICAS DE FUNCIONES. 
 
En los temas anteriores se analizó la forma como identificar los puntos en los que 
cambian  las  características  de  la  gráfica.  Se  puede  localizar  donde  existe los  puntos 
máximos y mínimos  locales y de inflexión;  también se determina con precisión dónde es 
creciente,  decreciente  la  gráfica  o  dónde  es  cóncava  hacia  arriba,  cóncava  hacia  abajo, 
pero es necesario además  que se tome en cuenta las asíntotas, para obtener un análisis 
más amplio de la funciones que se grafiquen. 
Definiciones rigurosas de límites, cuando  x  →  ±  ∞ En  analogía  con  la  definición  formal  usando  ε  ,  δ  para  límites  ordinarios, 
establecemos las siguientes definiciones. 
Definición. (Límite cuando x → ∞ ). Sea ƒ una función definida en [c, ∞ ) para algún 
número  c.  Decimos  que  lim f ( x ) = L   si  para  toda  ε  >  0  existe  un  número  (positivo) 
x →∞

correspondiente M tal que  x > M ⇒ f ( x) − L < ε  
Nótese  que  M puede  depender  de  ε.  En  general,  cuando  más  pequeño  sea  ε, 
mayor deberá ser M. 
Definición. (Límite cuando x  → ‐  ∞ ). Sea ƒ una función definida en  (‐ ∞ , c] para 
algún número c. Decimos que  lim f ( x) = L  si para toda ε > 0 existe un número (negativo) 
x →−∞

correspondiente M tal que x < M ⇒ f ( x) − L < ε  
Para  resolver  estos  límites,  donde  aparece  la indeterminación 

∞
  ,  se    divide  el 
∞

numerador y el denominador por la mayor potencia  de la variable. 
Definición  (Límites  Infinitos)  Decimos  que  el  lim f ( x) = ∞   si  para  todo  número 
x→ c

positivo M, corresponde una δ > 0 tal que  si 0 < x − c < δ , ⇒ f ( x) > M  
227 
damasorojas8@gmail.com,    damasorojas8@galeon.com,   joeldama@yahoo.com.  
 

INSTITUTO UNIVERSITARIODE TECNOLOGÍA
“JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI
Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química
Lic. MSc. DÁMASO ROJAS

 

Definición  (Límites  Infinitos)  Decimos  que  el  lim f ( x) = −∞   si  para  todo  número 
x→ c

negativo M, corresponde una δ > 0 tal que  si 0 < x − c < δ , ⇒ f ( x) < M  
Asíntotas  Si un punto (x, y) se desplaza continuamente por una función  y = f ( x)  de tal forma que, 
por lo menos, una de sus coordenadas tienda al infinito, mientras que la distancia entre 
ese punto y una recta determinada tiende a cero, esta recta recibe el nombre de asíntota 
de la función.  
Asíntotas verticales (paralelas al eje OY)  
La recta x = a es una asíntota vertical de la curva  y = f ( x)  

si lim+ f ( x) = ±∞ ó lim− f ( x) = ±∞ ó lim f( x) = ±∞  
x→ a

x→ a

x→ a

Por  consiguiente,  para  determinar  las  asíntotas  verticales  de  una  curva,  es  preciso 
encontrar todos los valores de x = a que, al aproximarse a los mismos, la función tiende a 
infinito.  
En  particular,  cuando  la  función  es  racional,  y  está  reducida  a  su  mínima  expresión,  son asíntotas verticales, todos aquellos valores de x que anulan el denominador.
Asíntotas horizontales (paralelas al eje OX)  
La recta y = b es una asíntota horizontal de la curva  y = f ( x)   

si lim f ( x ) = b ó lim f ( x ) = b
x→ ∞

x →− ∞

 
 Las asíntotas horizontales son un caso particular de las asíntotas oblicuas  y = mx + b   (si m 
= 0, la asíntota es horizontal) que se describen y determinan a continuación. Asíntotas oblicuas (inclinadas)  
La recta no vertical  y = mx + b  , es una asíntota oblicua para la curva y = f ( x)   

228 
damasorojas8@gmail.com,    damasorojas8@galeon.com,   joeldama@yahoo.com.  
 

INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA
“JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI
Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química
Lic. MSc. DÁMASO ROJAS

 

si lim [ f...